Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. April 2012, 09:55 Uhr

Bei den Kugelkoordinaten $\left( \mathrm{u}_1 = r, \mathrm{u}_2 = \vartheta, \mathrm{u}_3 = \varphi \right)$ beschreibt die Koordinate $r$ den Abstand eines Punktes $\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)$ vom Ursprung. Die Koordinatenfläche $r = \mathrm{const.}$ entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel $\vartheta$ wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich $0 \leq \vartheta \leq \pi$ . Der positiven z-Achse ist der Wert $\vartheta = 0$ zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert $\vartheta = \pi$ . Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen $\theta$ liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator $\vartheta = \pi/2$ . Die Koordinate $\varphi$ ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.

Abbildung 1: Kugelkoordinaten

Ein Punkt $\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)$ auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate $\mathrm{z} = r \cos \vartheta$ und den Abstand $\rho = r \sin \vartheta$ von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand , dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen in der Form:

Transformationsgleichungen	$\begin{align} \mathrm{x} & = r \sin\vartheta \cos\varphi & &\text{mit}& 0 &\leq r < \infty \end{align}$
	$\begin{align} \mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \vartheta \leq \pi \end{align}$
	$\begin{align} \mathrm{z}& = r \cos \vartheta & &\text{mit}& 0 &\leq \varphi < 2 \pi \end{align}$

verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:

$\begin{align} h_1 &= h_r = 1\\ h_2 &= h_\vartheta = r\\ h_3 &= h_\varphi = r \sin\vartheta \end{align}$

und den metrischen Faktoren die Einheitsvektoren bestimmt:

Einheitsvektoren	$\vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta$
	$\vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_\vartheta = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \vartheta} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\vartheta \sin\varphi - \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \sin\vartheta$
	$\vec{\textbf{e}}_3 = \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{1}{r \sin\vartheta}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\varphi$

Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r + \vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta + \vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi

und für das Volumenelement:

\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi

Mit dem Ortsvektor

$\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta$

Beispiel: Berechnung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten

Bei den Zylinderkoordinaten wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor vereinfachter darstellen lässt. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch simpler:

Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} x + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} y + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} z\\ & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta \end{align}

Durch hervorziehen des Faktors r und vergleich mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in Kugelkoordinaten:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = r(\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta)\\ & =\vec{\textbf{e}}_r r \end{align}

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)

http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.)

http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten

http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.)

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+Bei den Kugelkoordinaten <math>\left( \mathrm{u}_1 = r, \mathrm{u}_2 = \vartheta, \mathrm{u}_3 = \varphi \right)</math> beschreibt die Koordinate <math>r</math> den Abstand eines Punktes <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> vom Ursprung. Die Koordinatenfläche <math>r = \mathrm{const.}</math> entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel <math>\vartheta</math> wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich <math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>. Der positiven z-Achse ist der Wert <math>\vartheta = 0</math> zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert <math>\vartheta = \pi</math>. Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen <math>\theta</math> liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator <math>\vartheta = \pi/2</math>. Die Koordinate <math>\varphi</math> ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
 <figure id="fig:krummlinige_koordinaten4">
-[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|miniatur|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
+[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|400px|thumb|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
 </figure>
-Bei den Kugelkoordinaten <math>\left( \mathrm{u}_1 = r, \mathrm{u}_2 = \vartheta, \mathrm{u}_3 = \varphi \right)</math> beschreibt die Koordinate <math>r</math> den Abstand eines Punktes <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> vom Ursprung. Die Koordinatenfläche <math>r = \mathrm{const.}</math> entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel <math>\vartheta</math> wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich <math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>. Der positiven z-Achse ist der Wert <math>\vartheta = 0</math> zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert <math>\vartheta = \pi</math>. Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen <math>\theta</math> liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator <math>\vartheta = \pi/2</math>. Die Koordinate <math>\varphi</math> ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
 Ein Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate <math>\mathrm{z} = r \cos \vartheta</math> und den Abstand <math>\rho = r \sin \vartheta</math> von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand , dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen  in der Form:
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 Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt:
 :<math>
-\vec{\textbf{r}} =
+\begin{align}
+\vec{\textbf{r}} & =
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} x +
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} y +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} z=
+\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} z\\
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi +
+& = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi +
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi +
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta
+\end{align}
 </math>
 Durch hervorziehen des Faktors ''r'' und vergleich  mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in  Kugelkoordinaten:
 :<math>
-\vec{\textbf{r}} =
+\begin{align}
+\vec{\textbf{r}} & =
 r(\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}  \sin\vartheta \cos\varphi +
 \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}  \sin\vartheta \sin\varphi +
-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}  \cos\vartheta)
+\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}  \cos\vartheta)\\
-=\vec{\textbf{e}}_r r
+& =\vec{\textbf{e}}_r r
+\end{align}
 </math>
 }}