Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen
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− | |style="background-color:#c9d7ec"| <math>\mathrm{y} = r \sin\vartheta \sin\varphi </math> | + | |style="background-color:#c9d7ec"| <math>\begin{align} |
+ | \mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi& | ||
+ | &\text{mit}& | ||
+ | 0 &\leq \vartheta \leq \pi | ||
+ | \end{align} | ||
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+ | </math> | ||
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− | |style="background-color:#c9d7ec"| <math>\mathrm{z} = r \cos \vartheta</math> | + | |style="background-color:#c9d7ec"| <math>\begin{align} |
+ | \mathrm{z}& = r \cos \vartheta & | ||
+ | &\text{mit}& | ||
+ | 0 &\leq \varphi < 2 \pi | ||
+ | \end{align} | ||
+ | </math> | ||
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Version vom 5. April 2012, 14:46 Uhr
Bei den Kugelkoordinaten beschreibt die Koordinate
den Abstand eines Punktes
vom Ursprung. Die Koordinatenfläche
entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel
wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich
. Der positiven z-Achse ist der Wert
zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert
. Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen
liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator
. Die Koordinate
ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
Ein Punkt auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate
und den Abstand
von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand , dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen in der Form:
Transformationsgleichungen | ![]() |
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verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:
und den metrischen Faktoren die Einheitsvektoren bestimmt:
Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit
und für das Volumenelement:
Mit dem Ortsvektor
Übersicht
Transformationsgleichungen | ![]() |
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Einheitsvektoren | ![]() |
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![]() Bei den Zylinderkoordinaten wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor vereinfachter darstellen lässt. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch simpler: Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt: Durch hervorziehen des Faktors r und vergleich mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in Kugelkoordinaten: |
Multimediale Lehrmaterialien
http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich) http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.) http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich) |
Hilfreiche Links
http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.) |
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