Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei den Kugelkoordinaten <math>\left( \mathrm{u}_1 = r, \mathrm{u}_2 = \vartheta, \mathrm{u}_3 = \varphi \right)</math> beschreibt die Koordinate <math>r</math> den Abstand eines Punktes <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> vom Ursprung. Die Koordinatenfläche <math>r = \mathrm{const.}</math> entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel <math>\vartheta</math> wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich <math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>. Der positiven z-Achse ist der Wert <math>\vartheta = 0</math> zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert <math>\vartheta = \pi</math>. Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen <math>\theta</math> liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator <math>\vartheta = \pi/2</math>. Die Koordinate <math>\varphi</math> ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
 
 
<figure id="fig:krummlinige_koordinaten4">
 
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[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten4.jpg|miniatur|<caption>Kugelkoordinaten</caption>]]
 
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Bei den Kugelkoordinaten <math>\left( \mathrm{u}_1 = r, \mathrm{u}_2 = \vartheta, \mathrm{u}_3 = \varphi \right)</math> beschreibt die Koordinate <math>r</math> den Abstand eines Punktes <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> vom Ursprung. Die Koordinatenfläche <math>r = \mathrm{const.}</math> entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel <math>\vartheta</math> wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich <math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>. Der positiven z-Achse ist der Wert <math>\vartheta = 0</math> zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert <math>\vartheta = \pi</math>. Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen <math>\theta</math> liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator <math>\vartheta = \pi/2</math>. Die Koordinate <math>\varphi</math> ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
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Ein Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate <math>\mathrm{z} = r \cos \vartheta</math> und den Abstand <math>\rho = r \sin \vartheta</math> von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand in die <xr id="eqn:definition2"/>, dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen <xr id="eqn:definition"/> in der Form:
 
Ein Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate <math>\mathrm{z} = r \cos \vartheta</math> und den Abstand <math>\rho = r \sin \vartheta</math> von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand in die <xr id="eqn:definition2"/>, dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen <xr id="eqn:definition"/> in der Form:
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:<equation id="eqn:definition3">
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verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen <xr id="eqn:definition3"/> in die <xr id="eqn:metrisch"/> berechnet werden:
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verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:
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:<equation id="eqn:metrische_faktoren">
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Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit <xr id="eqn:total"/>
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Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit  
 
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\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
 
\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} =
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\vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
\vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
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und für das Volumenelement mit <xr id="eqn:elementar"/>:
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und für das Volumenelement:
 
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\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi
 
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Mit dem Ortsvektor (<xr id="eqn:ortsvektor"/>)
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Mit dem Ortsvektor  
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:<equation id="eqn:ortsvektor2">
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\vec{\textbf{r}} =
 
\vec{\textbf{r}} =
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta
 
\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta
 
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</equation>
 
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<xr id="eqn:ortsvektor2"/>
 
  
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und den metrischen Faktoren <xr id="eqn:metrische_faktoren"/> werden aus <xr id="eqn:einheitsvektoren"/> die Einheitsvektoren bestimmt:
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und den metrischen Faktoren die Einheitsvektoren bestimmt:
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:<equation id="eqn:einheitsvektoren2">
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\begin{align}
 
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</equation>
 
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<xr id="eqn:einheitsvektoren2"/>
 
  
  
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{{Beispiel
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|Titel=Berechnung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten
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|Inhalt=
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\vec{\textbf{r}} =
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi +
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi +
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta
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Durch Vergleich der Beziehung <xr id="eqn:ortsvektor2"/> mit der 1. Zeile in <xr id="eqn:einheitsvektoren2"/> erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in X Kugelkoordinaten:
 
Durch Vergleich der Beziehung <xr id="eqn:ortsvektor2"/> mit der 1. Zeile in <xr id="eqn:einheitsvektoren2"/> erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in X Kugelkoordinaten:
 
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Version vom 5. April 2012, 14:12 Uhr

Abbildung 1: Kugelkoordinaten


Bei den Kugelkoordinaten \left( \mathrm{u}_1 = r, \mathrm{u}_2 = \vartheta, \mathrm{u}_3 = \varphi \right) beschreibt die Koordinate r den Abstand eines Punktes \mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi) vom Ursprung. Die Koordinatenfläche r = \mathrm{const.} entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel \vartheta wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich 0 \leq \vartheta \leq \pi. Der positiven z-Achse ist der Wert \vartheta = 0 zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert \vartheta = \pi. Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen \theta liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator \vartheta = \pi/2. Die Koordinate \varphi ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.

Ein Punkt \mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi) auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate \mathrm{z} = r \cos \vartheta und den Abstand \rho = r \sin \vartheta von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand in die ???, dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen ??? in der Form:

\begin{align} \mathrm{x} &= r \sin\vartheta \cos\varphi& && 0 &\leq r < \infty\\ \mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \vartheta \leq \pi\\ \mathrm{z} &= r \cos \vartheta& && 0 &\leq \varphi < 2 \pi \end{align}

verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:

\begin{align} h_1 &= h_r = 1\\ h_2 &= h_\vartheta = r\\ h_3 &= h_\varphi = r \sin\vartheta \end{align}


Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r + \vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta + \vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi

und für das Volumenelement:

\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi

Mit dem Ortsvektor

\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta

und den metrischen Faktoren die Einheitsvektoren bestimmt:

\begin{align} \vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta\\ \vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\vartheta = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \vartheta} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\vartheta \sin\varphi - \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \sin\vartheta\\ \vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{1}{r \sin\vartheta}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\varphi \end{align}


{{Beispiel |Titel=Berechnung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten |Inhalt= \vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta Durch Vergleich der Beziehung ??? mit der 1. Zeile in ??? erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in X Kugelkoordinaten:

\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_r r

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)

http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.)

http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

Link.png

http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten

http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.)

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