Zylinderkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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\vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\rho \partial \varphi} =
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\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \rho \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \rho \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}
 
\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \rho \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \rho \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}
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und den metrischen Faktoren (<xr id="eqn:faktoren"/>) werden aus <xr id="eqn:total"/> die Einheitsvektoren bestimmt:
 
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\vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_\rho = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \rho} =
 
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin \varphi\\
 
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\vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\rho \partial \varphi} =
 
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-\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos \varphi\\
 
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\vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}
 
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Nun soll man diesen Vektor in zylindrischen Koordinaten ausdrücken:
 
Nun soll man diesen Vektor in zylindrischen Koordinaten ausdrücken:
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Version vom 4. April 2012, 15:17 Uhr

Ein Sonderfall der krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme, der häufig benutzt wird, sind die Zylinderkoordinaten:

Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachste mit ihren Radius \rho und dem Winkel \varphi beschreiben ( siehe Abbildung). Eben diese Koordinaten werden bei den ebenen Zylinderkoordinaten oder Polarkoordinaten verwendet, dabei wird der Winkel \varphi definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt. Insbesondere für Probleme mit konzentrischen oder radialen Anordnungen werden dadurch die Betrachtung einfacher zu begreifen und zu berechnen. Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können, wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesischen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht auch der Länge der Mantelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen. Dabei können Sie folgende Werte annehmen:

0\leq \rho\leq\infty
0\leq \varphi\leq 2\pi
-\infty\leq z\leq\infty
Abbildung 1: Zylinderkoordinaten

Betrachtet man die Abbildung, kann man mithilfe der Trigonometrischen Funktionen die Transformationsgleichung berechnen:

\begin{align} \mathrm{x} &= \rho \cos \varphi& && 0 &\leq \rho < \infty\\ \mathrm{y} &= \rho \sin \varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \varphi < 2 \pi\\ \mathrm{z} &= \mathrm{z}& && & \end{align}

Berechnet man die Transformationsgleichung vom Zylinderkoordinatensystem ins kartesische Koordinatensystem folgt:

\begin{align} \rho &=\sqrt{x^2+y^2}\\ \varphi &=\arctan{\frac{y}{x}}\\ z &=z \end{align}

Die Metrikkoeffizienten oder metrischen Faktoren berechnen sich durch folgende Gleichung:

h_i = \left| \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} \right|

Sie werden benötigt, damit die Einheitsvektoren in das jeweilige System transformiert werden können. Da die Gleichung sehr unhandlich wirkt ist die Rechnung hier durch ein Beispiel der Koordinate \varphi aufgeschlüsselt. Dazu müssen für die Variablen x,y,z die Transformationsgleichungen eingesetzt und nach der Koordinate differenziert werden. Anschließend wird der Betrag gebildet:

h_\varphi = \sqrt{ \left( \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2} =\sqrt{ \left( \frac{\partial \mathrm{\rho \cos \varphi}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{\rho \sin \varphi}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2} =\sqrt{(-\rho\sin\varphi)^2+(\rho\cos\varphi)^2} =\sqrt{\rho^2(sin^2\varphi+\cos^2\varphi)}=\rho

Die beiden anderem Metrischen Koeffizienten ergeben sich zu:

h_\rho = h_\mathrm{z} = 1

Hat man nun die metrischen Faktoren kann man die Einheitsvektoren des Zylinderkoordinatensystems bestimmen: \begin{align} \vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_\rho = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \rho} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\rho \partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \end{align} 


vektorielle Wegelement :
\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \mathrm{d}\rho + \vec{\textbf{e}}_\varphi \rho \mathrm{d}\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{d}\mathrm{z} 
Volumenelement :
\mathrm{d}V = \rho\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\mathrm{z}

Mit dem Ortsvektor : \vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \rho \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \rho \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z} </equation> ???



Beispiel: Beschreibung des Ortsvektors in Zylinderkoordinaten

Gegeben sei der Ortsvektor \vec{\mathbf{r}} in kartesischen Koordinaten.

\vec{\mathbf{r}}=\vec{\mathbf{e}}x\cdot x+\vec{\mathbf{e}}y\cdot y+\vec{\mathbf{e}}z\cdot z

Nun soll man diesen Vektor in zylindrischen Koordinaten ausdrücken:

Ein Vergleich der Beziehungen zeigt, dass der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten die nachstehende Form annimmt:

\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \rho + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringCylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich)

http://demonstrations.wolfram.com/CylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich)

http://www.pha.jhu.edu/~javalab/cylindrical/cylindrical.html Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

Link.png

http://scientificsentence.net/Electromagnetics/index.php?key=yes&Integer=Cylindrical Bild und Erläuterung zu den Einheitsvektoren im Zylinderkoordinatensystem (engl.)

http://www.math.wpi.edu/Course_Materials/MA2251C99/images/cylndrcl.gif Bild zu infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinatensystem

http://lh5.ggpht.com/_XvrTyMj5b-k/SaH0PTc-qWI/AAAAAAAAFnM/YYo0W-gT_5I/controlvolumecylindricalcontinuity5.png Bild zu einem infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinaten

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