Zylinderkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 4. April 2012, 15:12 Uhr

Ein Sonderfall der krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme, der häufig benutzt wird, sind die Zylinderkoordinaten:

Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachste mit ihren Radius und dem Winkel beschreiben ( siehe Abbildung). Eben diese Koordinaten werden bei den ebenen Zylinderkoordinaten oder Polarkoordinaten verwendet, dabei wird der Winkel definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt. Insbesondere für Probleme mit konzentrischen oder radialen Anordnungen werden dadurch die Betrachtung einfacher zu begreifen und zu berechnen. Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können, wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesischen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht auch der Länge der Mantelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen. Dabei können Sie folgende Werte annehmen:

Abbildung 1: Zylinderkoordinaten

Betrachtet man die Abbildung, kann man mithilfe der Trigonometrischen Funktionen die Transformationsgleichung berechnen:

Berechnet man die Transformationsgleichung vom Zylinderkoordinatensystem ins kartesische Koordinatensystem folgt:

Die Metrikkoeffizienten oder metrischen Faktoren berechnen sich durch folgende Gleichung:

Sie werden benötigt, damit die Einheitsvektoren in das jeweilige System transformiert werden können. Da die Gleichung sehr unhandlich wirkt ist die Rechnung hier durch ein Beispiel der Koordinate aufgeschlüsselt. Dazu müssen für die Variablen x,y,z die Transformationsgleichungen eingesetzt und nach der Koordinate differenziert werden. Anschließend wird der Betrag gebildet:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): h_\varphi = \sqrt{ \left( \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2} =\sqrt{ \left( \frac{\partial \mathrm{\rho \cos \varphi}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{\rho \sin \varphi}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2}\\ =\sqrt{(-\rho\sin\varphi)^2+(\rho\cos\varphi)^2} =\sqrt{\rho^2(sin^2\varphi+\cos^2\varphi)}=\rho

</equation> ???

Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit ???:

Für das Volumenelement folgt mit ???:

Mit dem Ortsvektor (???)

Formel (1)

und den metrischen Faktoren (???) werden aus ??? die Einheitsvektoren bestimmt:

Formel (2)

Ein Vergleich der Beziehungen Formel (1) und Formel (2) zeigt, dass der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten die nachstehende Form annimmt:

Beispiel: Beschreibung des Ortsvektors in Zylinderkoordinaten Gegeben sei der Ortsvektor in kartesischen Koordinaten. Nun soll man diesen Vektor in zylindrischen Koordinaten ausdrücken:

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