Zylinderkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen
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\rho=\sqrt{x^2+y^2} | \rho=\sqrt{x^2+y^2} | ||
\varphi=\arctan{\frac{y}{x}} | \varphi=\arctan{\frac{y}{x}} | ||
− | + | z=z</math> | |
Version vom 4. April 2012, 14:36 Uhr
Ein Sonderfall der krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme, der häufig benutzt wird, sind die Zylinderkoordinaten:
Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachste mit ihren Radius und dem Winkel
beschreiben ( siehe Abbildung). Eben diese Koordinaten werden bei den ebenen Zylinderkoordinaten oder Polarkoordinaten verwendet, dabei wird der Winkel
definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt. Insbesondere für Probleme mit konzentrischen oder radialen Anordnungen werden dadurch die Betrachtung einfacher zu begreifen und zu berechnen. Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können, wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesischen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht auch der Länge der Mantelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen. Dabei können Sie folgende Werte annehmen:
Betrachtet man die Abbildung, kann man mithilfe der Trigonometrischen Funktionen die Transformationsgleichung berechnen:
Berechnet man die Transformationsgleichung vom Zylinderkoordinatensystem ins kartesische Koordinatensystem folgt:
Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen ??? in die ??? berechnet werden:
Formel (1)
Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit ???:
Für das Volumenelement folgt mit ???:
Mit dem Ortsvektor (???)
Formel (2)
und den metrischen Faktoren (Formel (1)) werden aus ??? die Einheitsvektoren bestimmt:
Formel (3)
Ein Vergleich der Beziehungen Formel (2) und Formel (3) zeigt, dass der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten die nachstehende Form annimmt:
![]() Gegeben sei der Ortsvektor Nun soll man diesen Vektor in zylindrischen Koordinaten ausdrücken: |
Multimediale Lehrmaterialien
http://demonstrations.wolfram.com/ExploringCylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://demonstrations.wolfram.com/CylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://www.pha.jhu.edu/~javalab/cylindrical/cylindrical.html Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl.) |
Hilfreiche Links
http://scientificsentence.net/Electromagnetics/index.php?key=yes&Integer=Cylindrical Bild und Erläuterung zu den Einheitsvektoren im Zylinderkoordinatensystem (engl.) http://www.math.wpi.edu/Course_Materials/MA2251C99/images/cylndrcl.gif Bild zu infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinatensystem http://lh5.ggpht.com/_XvrTyMj5b-k/SaH0PTc-qWI/AAAAAAAAFnM/YYo0W-gT_5I/controlvolumecylindricalcontinuity5.png Bild zu einem infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinaten |
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