Zylinderkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachsten mit ihren Radius <math>\rho</math> und dem Winkel <math>\varphi</math> beschreiben, dabei wird der Winkel <math>\varphi</math> definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt.  Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesichen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht der Länge der Mantelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen. Dabei können Sie folgende Werte annehmen:
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Ein Sonderfall der krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme, der häufig benutzt wird. Sind die Zylinderkoordinaten:
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Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachsten mit ihren Radius <math>\rho</math> und dem Winkel <math>\varphi</math> beschreiben. Insbesondere für Probleme mit konzentrischen oder radialen  Anordnungen werden  die Betrachtung  einfacher zu begreifen und zu berechnen. So sind die ebenen Zylinderkoordinaten oder '''Polarkoordinaten''' mit ihrem Radius <math>\rho</math> und dem Winkel <math>\varphi</math> vollstädnig beschrieben, dabei wird der Winkel <math>\varphi</math> definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt.  Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesichen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht der Länge der Mantelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen. Dabei können Sie folgende Werte annehmen:
  
 
:<math>0\leq \rho\leq\infty</math>  
 
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Die Definitionsgleichungen <xr id="eqn:definition"/> für die Koordinaten des Kreiszylinders <math>\left( \mathrm{u}_1 = \rho, \mathrm{u}_2 = \varphi, \mathrm{u}_3 = \mathrm{z} \right)</math> können unmittelbar der unteren Abbildung entnommen werden:
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Die Definitionsgleichungen für die Koordinaten des Kreiszylinders <math>\left( \mathrm{u}_1 = \rho, \mathrm{u}_2 = \varphi, \mathrm{u}_3 = \mathrm{z} \right)</math> können unmittelbar der unteren Abbildung entnommen werden:
 
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Version vom 3. April 2012, 14:48 Uhr

Ein Sonderfall der krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme, der häufig benutzt wird. Sind die Zylinderkoordinaten:

Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachsten mit ihren Radius \rho und dem Winkel \varphi beschreiben. Insbesondere für Probleme mit konzentrischen oder radialen Anordnungen werden die Betrachtung einfacher zu begreifen und zu berechnen. So sind die ebenen Zylinderkoordinaten oder Polarkoordinaten mit ihrem Radius \rho und dem Winkel \varphi vollstädnig beschrieben, dabei wird der Winkel \varphi definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt. Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesichen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht der Länge der Mantelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen. Dabei können Sie folgende Werte annehmen:

0\leq \rho\leq\infty
0\leq \varphi\leq 2\pi
-\infty\leq z\leq\infty
Abbildung 1: Zylinderkoordinaten

Die Definitionsgleichungen für die Koordinaten des Kreiszylinders \left( \mathrm{u}_1 = \rho, \mathrm{u}_2 = \varphi, \mathrm{u}_3 = \mathrm{z} \right) können unmittelbar der unteren Abbildung entnommen werden:

\begin{align} \mathrm{x} &= \rho \cos \varphi& && 0 &\leq \rho < \infty\\ \mathrm{y} &= \rho \sin \varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \varphi < 2 \pi\\ \mathrm{z} &= \mathrm{z}& && & \end{align}

Formel (1)


Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen Formel (1) in die ??? berechnet werden:

\begin{align} h_1 &= h_\rho = 1\\ h_2 &= h_\varphi = \rho\\ h_3 &= h_\mathrm{z} = 1 \end{align}

Formel (2)

Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit ???:

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \mathrm{d}\rho + \vec{\textbf{e}}_\varphi \rho \mathrm{d}\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{d}\mathrm{z}

Für das Volumenelement folgt mit ???:

\mathrm{d}V = \rho\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\mathrm{z}

Mit dem Ortsvektor (???)

\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \rho \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \rho \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}

Formel (3)

und den metrischen Faktoren (Formel (2)) werden aus ??? die Einheitsvektoren bestimmt:

\begin{align} \vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_\rho = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \rho} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\rho \partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \end{align}

Formel (4)

Ein Vergleich der Beziehungen Formel (3) und Formel (4) zeigt, dass der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten die nachstehende Form annimmt:

\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \rho + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}
Beispiel: Beschreibung des Ortsvektors in Zylinderkoordinaten

Gegeben sei der Ortsvektor \vec{\mathbf{r}} in kartesischen Koordinaten.

\vec{\mathbf{r}}=\vec{\mathbf{e}}x\cdot x+\vec{\mathbf{e}}y\cdot y+\vec{\mathbf{e}}z\cdot z

Nun soll man diesen Vektor in zylindrischen Koordinaten ausdrücken:

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringCylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich)

http://demonstrations.wolfram.com/CylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich)

http://www.pha.jhu.edu/~javalab/cylindrical/cylindrical.html Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

Link.png

http://scientificsentence.net/Electromagnetics/index.php?key=yes&Integer=Cylindrical Bild und Erläuterung zu den Einheitsvektoren im Zylinderkoordinatensystem (engl.)

http://www.math.wpi.edu/Course_Materials/MA2251C99/images/cylndrcl.gif Bild zu infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinatensystem

http://lh5.ggpht.com/_XvrTyMj5b-k/SaH0PTc-qWI/AAAAAAAAFnM/YYo0W-gT_5I/controlvolumecylindricalcontinuity5.png Bild zu einem infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinaten

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