Zylinderkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 3. April 2012, 14:35 Uhr

Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachsten mit ihren Radius $\rho$ und dem Winkel $\varphi$ beschreiben, dabei wird der Winkel $\varphi$ definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt. Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesichen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht der Länge der Mantelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen. Dabei können Sie folgende Werte annehmen:

0\leq \rho\leq\infty

0\leq \varphi\leq 2\pi

-\infty\leq z\leq\infty

Abbildung 1: Zylinderkoordinaten

Die Definitionsgleichungen ??? für die Koordinaten des Kreiszylinders $\left( \mathrm{u}_1 = \rho, \mathrm{u}_2 = \varphi, \mathrm{u}_3 = \mathrm{z} \right)$ können unmittelbar der unteren Abbildung entnommen werden:

\begin{align} \mathrm{x} &= \rho \cos \varphi& && 0 &\leq \rho < \infty\\ \mathrm{y} &= \rho \sin \varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \varphi < 2 \pi\\ \mathrm{z} &= \mathrm{z}& && & \end{align}

Formel (1)

Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen Formel (1) in die ??? berechnet werden:

\begin{align} h_1 &= h_\rho = 1\\ h_2 &= h_\varphi = \rho\\ h_3 &= h_\mathrm{z} = 1 \end{align}

Formel (2)

Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit ???:

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \mathrm{d}\rho + \vec{\textbf{e}}_\varphi \rho \mathrm{d}\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{d}\mathrm{z}

Für das Volumenelement folgt mit ???:

\mathrm{d}V = \rho\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\mathrm{z}

Mit dem Ortsvektor (???)

\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \rho \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \rho \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}

Formel (3)

und den metrischen Faktoren (Formel (2)) werden aus ??? die Einheitsvektoren bestimmt:

\begin{align} \vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_\rho = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \rho} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\rho \partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \end{align}

Formel (4)

Ein Vergleich der Beziehungen Formel (3) und Formel (4) zeigt, dass der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten die nachstehende Form annimmt:

\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \rho + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}

Beispiel: Beschreibung des Ortsvektors in Zylinderkoordinaten

Gegeben sei der Ortsvektor $\vec{\mathbf{r}}$ in kartesischen Koordinaten.

\vec{\mathbf{r}}=\vec{\mathbf{e}}x\cdot x+\vec{\mathbf{e}}y\cdot y+\vec{\mathbf{e}}z\cdot z

Nun soll man diesen Vektor in zylindrischen Koordinaten ausdrücken:

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringCylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich)

http://demonstrations.wolfram.com/CylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich)

http://www.pha.jhu.edu/~javalab/cylindrical/cylindrical.html Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

http://scientificsentence.net/Electromagnetics/index.php?key=yes&Integer=Cylindrical Bild und Erläuterung zu den Einheitsvektoren im Zylinderkoordinatensystem (engl.)

http://www.math.wpi.edu/Course_Materials/MA2251C99/images/cylndrcl.gif Bild zu infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinatensystem

http://lh5.ggpht.com/_XvrTyMj5b-k/SaH0PTc-qWI/AAAAAAAAFnM/YYo0W-gT_5I/controlvolumecylindricalcontinuity5.png Bild zu einem infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinaten

← Zurück: Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme

Übersicht: Orthogonale Koordinatensysteme

Vorwärts: Kugelkoordinaten →

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachsten mit ihren Radius <math>\rho</math> und dem Winkel <math>\varphi</math> beschreiben.
+Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachsten mit ihren Radius <math>\rho</math> und dem Winkel <math>\varphi</math> beschreiben, dabei wird der Winkel <math>\varphi</math> definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt.  Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesichen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht der Länge der Mantelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen. Dabei können Sie folgende Werte annehmen:
-Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesichen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht der Länge der Matelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen.
+:<math>0\leq \rho\leq\infty</math>
+:<math>0\leq \varphi\leq 2\pi</math>
+:<math>-\infty\leq z\leq\infty</math>
-Die Definitionsgleichungen <xr id="eqn:definition"/> für die Koordinaten des Kreiszylinders <math>\left( \mathrm{u}_1 = \rho, \mathrm{u}_2 = \varphi, \mathrm{u}_3 = \mathrm{z} \right)</math> können unmittelbar der unteren Abbildung entnommen werden:
+<figure id="fig:krummlinige_koordinaten3">
+[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten3.jpg|miniatur|<caption>Zylinderkoordinaten</caption>]]
+</figure>
-Beim Übergang von kartesischen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten bleibt die z-Koordinate unverändert, während die Position eines Punktes <math>\mathrm{P}(\mathrm{x},\mathrm{y})</math> in einer Ebene z = const. jetzt durch die beiden in <xr id="fig:krummlinige_koordinaten3"/> eingetragenen Koordinaten <math>\rho</math> und <math>\varphi</math> beschrieben wird. Die Koordinate <math>\rho</math> kennzeichnet den Abstand des Punktes von der z-Achse, der Winkel <math>\varphi</math> wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt. Der positiven x-Achse ist der Wert <math>\varphi = 0</math> zugeordnet, der negativen x-Achse der Wert <math>\varphi = \pi</math>. Die Definitionsgleichungen <xr id="eqn:definition"/> für die Koordinaten des Kreiszylinders <math>\left( \mathrm{u}_1 = \rho, \mathrm{u}_2 = \varphi, \mathrm{u}_3 = \mathrm{z} \right)</math> können unmittelbar der unteren Abbildung entnommen werden:
+Die Definitionsgleichungen <xr id="eqn:definition"/> für die Koordinaten des Kreiszylinders <math>\left( \mathrm{u}_1 = \rho, \mathrm{u}_2 = \varphi, \mathrm{u}_3 = \mathrm{z} \right)</math> können unmittelbar der unteren Abbildung entnommen werden:
 :<equation id="eqn:definition2">
 <math>
@@ Zeile 23: / Zeile 27: @@
 <xr id="eqn:definition2" />
-<figure id="fig:krummlinige_koordinaten3">
-[[Image:Koordinatensysteme_Krummlinige_Koordinaten3.jpg|miniatur|<caption>Zylinderkoordinaten</caption>]]
-</figure>
 Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen <xr id="eqn:definition2"/> in die <xr id="eqn:metrisch"/> berechnet werden:
 :<equation id="eqn:faktoren">

Zylinderkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 3. April 2012, 14:35 Uhr

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Mehr

Suche

Navigation

Werkzeuge