Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Bei vielen verschiedenen Anwendungen ist es nötig die Position im Raum relativ zueinander zu kennen, beispielsweise zur Berechnung der Flugbahn eines Balls zwischen zwei Personen oder bei der Kraftberechnung zwischen verschiedenen Punktladungen im Raum. Diese Positionen im Raum bestimmt man unter der Verwendung eines willkürlichen Bezugspunktes. So kann ein Punkt ''P'' durch einen Vektor beschrieben werden, der von dem Bezugspunkt zu dem Punkt ''P'' zeigt. Der Vektor wird dann entweder mithilfe der Koordinatendarstellung angegeben, oder mithilfe der Komponentendarstellung beschrieben. Die Komponenten werden dabei in der Regel so gewählt, dass sie zueinander orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen. | + | Bei vielen verschiedenen Anwendungen ist es nötig die Position im Raum relativ zueinander zu kennen, beispielsweise zur Berechnung der Flugbahn eines Balls zwischen zwei Personen oder bei der Kraftberechnung zwischen verschiedenen Punktladungen im Raum. Diese Positionen im Raum bestimmt man unter der Verwendung eines willkürlichen Bezugspunktes. So kann ein Punkt ''P'' durch einen Vektor beschrieben werden, der von dem Bezugspunkt zu dem Punkt ''P'' zeigt. Der Vektor wird dann entweder mithilfe der Koordinatendarstellung angegeben, oder mithilfe der Komponentendarstellung beschrieben. Die Komponenten werden dabei in der Regel so gewählt, dass sie zueinander orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen. |
− | + | Um den Punkten und Vektoren bestimmte Werte zuzuordnen, wahlt man Koordinatensysteme die den Raum vollständig beschreiben können. Da unterschiedliche Problemstellung unterschiedlich komplexe Darstellungen erfordern, gibt es auch verschiedene Koordinatensysteme. Vergleicht man beispielsweise die Strecke, die ein Auto auf einer Ebene zurücklegt mit der eines Flugzeugs, so zeigt sich, dass bei dem Auto eine zweidimensionale Betrachtung ausreicht, während das Flugzeug nicht vollständig dadurch beschrieben werden kann. An dieser Stelle werden nur orthogonale Koordinatensysteme behandelt, da sie leicht nachvollziehbar und vorstellbar sind und für die in der Vorlesung behandelten Probleme ausreichen. Bei den in den folgenden Abschnitten betrachteten drei Fällen, nämlich den kartesischen Koordinaten, den Zylinderkoordinaten und den Kugelkoordinaten handelt es sich um orthogonale Rechtssysteme, d. h. die in Richtung wachsender Koordinatenwerte weisenden Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{1}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{2}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{3}</math> stehen senkrecht aufeinander und erfüllen somit die Bedingung der '''Orthogonalität''': | |
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\vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} = | \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} = |
Version vom 2. April 2012, 15:07 Uhr
Einführung
Bei vielen verschiedenen Anwendungen ist es nötig die Position im Raum relativ zueinander zu kennen, beispielsweise zur Berechnung der Flugbahn eines Balls zwischen zwei Personen oder bei der Kraftberechnung zwischen verschiedenen Punktladungen im Raum. Diese Positionen im Raum bestimmt man unter der Verwendung eines willkürlichen Bezugspunktes. So kann ein Punkt P durch einen Vektor beschrieben werden, der von dem Bezugspunkt zu dem Punkt P zeigt. Der Vektor wird dann entweder mithilfe der Koordinatendarstellung angegeben, oder mithilfe der Komponentendarstellung beschrieben. Die Komponenten werden dabei in der Regel so gewählt, dass sie zueinander orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen.
Um den Punkten und Vektoren bestimmte Werte zuzuordnen, wahlt man Koordinatensysteme die den Raum vollständig beschreiben können. Da unterschiedliche Problemstellung unterschiedlich komplexe Darstellungen erfordern, gibt es auch verschiedene Koordinatensysteme. Vergleicht man beispielsweise die Strecke, die ein Auto auf einer Ebene zurücklegt mit der eines Flugzeugs, so zeigt sich, dass bei dem Auto eine zweidimensionale Betrachtung ausreicht, während das Flugzeug nicht vollständig dadurch beschrieben werden kann. An dieser Stelle werden nur orthogonale Koordinatensysteme behandelt, da sie leicht nachvollziehbar und vorstellbar sind und für die in der Vorlesung behandelten Probleme ausreichen. Bei den in den folgenden Abschnitten betrachteten drei Fällen, nämlich den kartesischen Koordinaten, den Zylinderkoordinaten und den Kugelkoordinaten handelt es sich um orthogonale Rechtssysteme, d. h. die in Richtung wachsender Koordinatenwerte weisenden Einheitsvektoren ,
,
stehen senkrecht aufeinander und erfüllen somit die Bedingung der Orthogonalität:
Bei einem Rechtssystem liefert das Vektorprodukt zweier aufeinander folgender Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor, so dass die nachstehenden Gleichungen gelten:
Übersicht
Das kartesische Koordinatensystem
Bei dem kartesischen Koordinatensystem sind die Koordinatenachsen geradlinig und orthogonal angeordnet, so dass die Achsen ein Rechtssystem bilden, welches durch die Rechte Handregel1 beschrieben werden kann. Der Schnittpunkt der Achsen wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren sind parallel zu den Achsen angeordnet und zeigen immer in Richtung wachsender Koordinatenwerte, daher sind die Einheitsvektoren auch unabhängig von der Position im Raum und zeigen immer dieselbe Richtung an. |
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Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme |
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Zylinderkoordinaten
Bei den Zylinderkoordinaten bleibt die z Koordinate im Vergleich zu den kartesischen Koordinaten unverändert. In der xy-Ebene werden allerdings |
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Kugelkoordinaten
Bei dem Kugelkoordinatensystem bestimmt r den Abstand zum Ursprung. |
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