Getb:Beispiel für eine DGL 1. Ordnung: Das RL-Glied

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RL-Glied

Zum Zeitpunkt $t=0$ wird der Schalter S der nebenstehenden Schaltung von Position 2 auf Position 1 umgelegt. Gesucht ist der Verlauf des Stroms $i_L$, also die Funktion $i_L (t)$ für $t \ge 0$.

Aufstellen der Differenzialgleichung

Um die Funktion $i_L (t)$ zu finden, werden die Maschengleichung und die Zweipolgleichungen ausgewertet:

$\text{(I): } U_0 = u_R + u_L$

$\text{(II): } u_R = i_L \cdot R$

$\text{(III): } u_L = L \cdot \dot i_L$

Werden nun Gleichung (II) und Gleichung (III) in (I) eingesetzt, erhält man eine DGL 1. Ordnung:

$U_0 = i_L \cdot R + L \cdot \dot i_L$

Dass diese DGL linear ist, sieht man, wenn man die gesamte Gleichung durch $L$ teilt und damit auf die allgemeine Form einer linearen DGL bringt:

$\dot i_L + \frac{R}{L} \cdot i_L = \frac{U_0}{L}$

Es liegt also eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung vor. Diese Gleichung beschreibt nicht den zeitlichen Verlauf des Stroms $i_L (t)$, sondern setzt die zeitliche Änderung (Ableitung) des Stroms $i_L$ ins Verhältnis zu seinem momentanen Wert und der Eingangsspannung $U_0$. Die Lösung dieser DGL ist die gesuchte Funktion $i_L (t)$, die den Stromverlauf beschreibt. Dieser Stromverlauf entspricht den Zusammenhängen der DGL und muss auch den noch zu betrachtenden Anfangsbedingungen entsprechen.

Lösung der homogenen Differenzialgleichung

Ziel ist es, die eben aufgestellte DGL für das RL-Glied zu lösen. Die dazugehörige homogene DGL lautet:

$\dot i_l + \frac{R}{L} \cdot i_l = 0$

Die gesuchte Funktion ist der Verlauf des Stroms $i_{Lh}(t)$. Zur Lösung wird der Exponentialansatz angesetzt. Der gesuchte Strom $i_{Lh}(t)$ hat die Einheit Ampere, sodass auch die Konstante $i_{Lh0}$ die Einheit Ampere hat, während die Exponentialfunktion einheitenlos ist. Statt mit $\lambda$ wird der Exponentialansatz mit $\textstyle \frac{1}{\tau}$ geschrieben, um den Zusammenhang mit der Zeitkonstante $\tau$ der Schaltung zu verdeutlichen. Der Exponentialansatz und dessen Ableitung lauten für diesen Fall also:

$i_{Lh}(t) = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}}$

$\dot i_{Lh}(t) = - \frac{1}{\tau} \cdot i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}}$

Beides kann nun in die homogene DGL eingesetzt werden. Es ergibt sich:

$- \frac{1}{\tau} \cdot i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} + \frac{R}{L} \cdot i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} = 0$

Zusammenfassen liefert folgenden Ausdruck:

$i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} \cdot \left( \frac{R}{L} - \frac{1}{\tau} \right) = 0$

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. Die e-Funktion kann niemals null sein. Der Fall $i_{Lh0}=0$ führt zur Lösung $i_{Lh}(t)=0$ und ist für die Praxis meist nicht relevant, da sich in diesem Fall der Strom $i_L$ nicht zeitlich ändern würde. Aus $\textstyle (\frac{R}{L} - \frac{1}{\tau}) =0$ folgt aber $\textstyle \frac{R}{L} = \frac{1}{\tau} \Rightarrow \tau =\frac{L}{R}$. Damit wurde die Zeitkonstante der Schaltung bestimmt und die Lösung für die homogene DGL lautet:

$i_{Lh}(t) = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot t}{L}}$

Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung

Gesucht wird eine partikuläre Lösung $i_{Lp}$ der inhomogenen DGL

$\dot i_L + \frac{R}{L} \cdot i_L = \frac{U_0}{L}$

Da die rechte Seite mit $\textstyle \frac{U_0}{L}$ konstant ist, kann für $i_{Lp}$ auch ein konstanter Wert angenommen werden. Dann gilt $\dot i_{Lp} = 0$ und die Gleichung vereinfacht sich zu:

$\frac{R}{L} \cdot i_{Lp} = \frac{U_0}{L}$

Durch Umstellen sieht man, dass $\textstyle i_{Lp} = \frac{U_0}{R}$ eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL ist. Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL lautet also:

$i_L (t) = i_{Lh}(t) + i_{Lp} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot t}{L}} + \frac{U_0}{R}$

Anpassung der allgemeinen Lösung an die spezielle Anwendung

In der vorherigen Rechnung wurde für den Strom $i_L (t)$ die allgemeine Lösung gefunden. Dabei ist die Größe $i_{Lh0}$ noch unbestimmt. Aus dem Strom $i_{L0}$ , der zum Zeitpunkt $t=0$ durch die Spule fließt, resultiert die Anfangsbedingung $i_L (0) = i_{L0}$. Einsetzen in die allgemeine Lösung liefert:

$i_{L0} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot 0}{L}} + \frac{U_0}{R} = i_{Lh0} \cdot \operatorname{e}^0 + \frac{U_0}{R} = i_{Lh0} + \frac{U_0}{R}$

$\Rightarrow i_{Lh0} = i_{L0} - \frac{U_0}{R}$

Damit kann nun die endgültige Lösung für den Strom $i_L (t)$ bestimmt werden:

$i_L (t) = \left( i_{L0} - \frac{U_0}{R} \right) \cdot \operatorname{e}^{- \frac{R \cdot t}{L}} + \frac{U_0}{R}$

$\Leftrightarrow i_L (t) = i_{L0} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}} + \frac{U_0}{R} \cdot (1 - \operatorname{e}^{- \frac{t}{\tau}})$

In der zweiten Darstellung wurde lediglich die schon bestimmte Zeitkonstante $\tau$ verwendet und die Gleichung etwas anders zusammengefasst.