Lösung linearer Gleichungssysteme

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Zur Lösung linearer Gleichungssysteme der Form $\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}$, also zur Bestimmung der Größen $x_1, x_2, \dots, x_n$ beziehungsweise des Vektors $\vec{\textbf{x}}$, existiert eine Vielzahl von Verfahren. Handelt es sich bei $\textbf{A}$ um eine quadratische Matrix, so kann beispielsweise die Cramersche Regel verwendet werden. Ausgangspunkt für die weiteren Betrachtungen ist zunächst eine Gleichung mit ausschließlich skalaren Größen $A$, $x$ und $b$:

$Ax = b$

Um in diesem Fall die Unbekannte $x$ zu bestimmen, genügt eine Multiplikation der Gleichung mit $1/A=A^{-1}$:

$Ax = b\,|\cdot A^{-1}\quad\Rightarrow\quad \underbrace{A^{-1}\cdot A}_{1} x = A^{-1}\cdot b\quad\Rightarrow\quad x = A^{-1}\cdot b$

Diese Vorgehensweise lässt sich auch auf lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise übertragen. In diesem Fall benötigt man die sogenannte Inverse $\mathbf{A}^{-1}$ zur Matrix $\mathbf{A}$. Das Produkt einer Matrix und der zugehörigen Inversen liefert dann die Einheitsmatrix, die in der Regel mit $\mathbf{I}$ oder $\mathbf{E}$ bezeichnet wird. Bei der Einheitsmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix, bei der die Hauptdiagonale ausschließlich aus Einsen besteht, alle anderen Elemente sind 0 (vgl. Beispiel unten). Somit folgt:

$\mathbf{A}^{-1}\cdot\mathbf{A}= \mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{E}$

Für das betrachtete lineare Gleichungssystem folgt also:

$\vec{\textbf{x}} = \mathbf{A}^{-1} \vec{\textbf{b}}$

Es gilt zu beachten, dass nicht zu jeder Matrix eine Inverse existiert. Damit folgt auch, dass nicht jedes lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Es lässt sich zeigen, dass ein lineares Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix $\textbf{A}$ ungleich Null ist (es muss also $\det\textbf{A} \neq 0$ gelten, ansonsten ist das Gleichungssystem über- oder unterbestimmt). Genau dann ist die Matrix $\textbf{A}$ auch invertierbar und genau dann sind auch die Gleichungen des linearen Gleichungssystems linear unabhängig. Es gilt zu beachten, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist, das heißt die Reihenfolge der Faktoren hat einen Einfluss auf das Ergebnis. Daher wurde bei dem skalaren Beispiel schon darauf geachtet, dass die Gleichung auf beiden Seiten „von links“ mit $\mathbf{A}^{-1}$ multipliziert wird.

Die Bestimmung einer Inversen ist in der Regel sehr aufwändig und nur für den Fall einer $2\times 2$-Matrix noch mit überschaubarem Aufwand möglich. Dies gilt insbesondere dann, wenn die Komponenten (Einträge) der Matrix keine einfachen Zahlenwerte sondern Variablen (im Fall einer Widerstandsmatrix zum Beispiel Summen von Widerständen) sind. Daher werden solche Gleichungssysteme mit Hilfsmitteln wie der Cramerschen Regel gelöst. Hierzu ist die Kenntnis des Begriffs der Determinante erforderlich.

Beispiel: Einfaches Zahlenbeispiel Gegeben ist das nachfolgende lineare Gleichungssystem, welches mit der oben beschriebenen Methode gelöst werden soll: $\begin{bmatrix}4 & 2\\10 & 6\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}8\\12\end{bmatrix}$ Zunächst ist die Inverse $\mathbf{A}^{-1}$ der Koeffizientenmatrix $\mathbf{A}$ zu bestimmen. Für $2\times 2$-Matrizen (bei größeren Matrizen ist der Aufwand wesentlich höher) gilt: $\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det\mathbf{A}} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11} \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11} \\ \end{bmatrix}$ Für das Beispiel folgt damit: $\begin{bmatrix}4 & 2\\10 & 6\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{4\cdot 6-2\cdot 10} \begin{bmatrix}6 & -2\\-10 & 4\end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix}6 & -2\\-10 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{6}{4} & \frac{-2}{4}\\\frac{-10}{4} & \frac{8}{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2} & \frac{-1}{2}\\\frac{-5}{2} & \frac{4}{2}\end{bmatrix}$ Nun kann das lineare Gleichungssystem in Matrixschreibweise von links mit der Inversen multipliziert werden: $\begin{bmatrix}\frac{3}{2} & \frac{-1}{2}\\\frac{-5}{2} & \frac{4}{2}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}4 & 2\\10 & 6\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2} & \frac{-1}{2}\\\frac{-5}{2} & \frac{4}{2}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}8\\12\end{bmatrix}$ Nach der Multiplikation der Matrizen folgt: $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6\\ -8\end{bmatrix}$ Damit folgt also $x_1=6$ und $x_2=-8$. Die Richtigkeit dieses Ergebnisses kann leicht durch Einsetzen überprüft werden (Probe). Mit Hilfe der Cramerschen Regel lässt sich die Lösung einfacher bestimmen, dies wird in dem zugehörigen Artikel beschrieben.