Vektorprodukt

Vektorprodukt

Regel von Sarrus

Bei der Multiplikation zweier Vektoren handelt es sich entweder um das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) oder aber um das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt liefert als Ergebnis ein Skalar, das Vektorprodukt hingegen liefert als Ergebnis wieder einen Vektor. Betrachtet man zwei Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$, so erhält man als Ergebnis des Vektorprodukts einen Vektor $\vec{\textbf{c}} = \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}$, der senkrecht auf der von $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ aufgespannten Fläche steht (siehe Abbildung). Weiterhin bilden die drei Vektoren $\vec{\textbf{a}}$, $\vec{\textbf{b}}$ und $\vec{\textbf{c}}$ ein Rechtssystem, das heißt sie sind gemäß der Rechten-Hand-Regel I miteinander verknüpft. Der Betrag des Vektors $\vec{\textbf{c}}$ lässt sich als Flächeninhalt des von $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ aufgespannten Parallelogramms interpretieren und wird wie folgt bestimmt:

$|\vec{\textbf{c}}| = a b \sin(\alpha),\ \text{wenn}\ \vec{\textbf{c}} = \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}$

Dabei bezeichnet $\alpha$ den Winkel, der von den beiden Vektoren eingeschlossen wird und Werte zwischen $0$ und $180^\circ$ annehmen kann (siehe Abbildung). Weiterhin gilt es zu beachten, dass das Vektorprodukt ausschließlich für den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum definiert ist. Rechnerisch gilt der folgende Zusammenhang:

$\begin{align} \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y\\ a_z b_x - a_x b_z\\ a_x b_y - a_y b_x\end{bmatrix} \end{align}$

Als Merkhilfe für diesen Zusammenhang eignet sich die Regel von Sarrus: Entsprechend der Abbildung werden dabei die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems in eine erste Spalte und die anderen beiden Vektoren in eine zweite und dritte Spalte geschrieben. Auf diese Weise erhält man eine Matrix, deren ersten beiden Spalten nun erneut rechts neben diese Matrix geschrieben werden. Nun führt man die Multiplikationen und Additionen wie in der Abbildung gezeigt aus und erhält:

Beispiel: Beispiel für das Vektorprodukt Beispiel.