Vektorprodukt: Unterschied zwischen den Versionen
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|\vec{\textbf{c}}| = a b \sin(\alpha),\ \text{wenn}\ \vec{\textbf{c}} = \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} | |\vec{\textbf{c}}| = a b \sin(\alpha),\ \text{wenn}\ \vec{\textbf{c}} = \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} | ||
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− | Dabei bezeichnet <math>\alpha</math> den Winkel, der von den beiden Vektoren eingeschlossen wird und Werte zwischen <math>0</math> und <math>180^\circ</math> annehmen kann (siehe Abbildung). | + | Dabei bezeichnet <math>\alpha</math> den Winkel, der von den beiden Vektoren eingeschlossen wird und Werte zwischen <math>0</math> und <math>180^\circ</math> annehmen kann (siehe Abbildung). Weiterhin gilt es zu beachten, dass das Vektorprodukt ausschließlich für den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum definiert ist. Dabei gilt der folgende Zusammenhang: |
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+ | \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z\end{bmatrix} = | ||
+ | \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y\\ a_z b_x - a_x b_z\\ a_x b_y - a_y b_x\end{bmatrix} | ||
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Version vom 4. Februar 2012, 15:59 Uhr
Bei der Multiplikation zweier Vektoren handelt es sich entweder um das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) oder aber um das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt liefert als Ergebnis ein Skalar, das Vektorprodukt hingegen liefert als Ergebnis wieder einen Vektor. Betrachtet man zwei Vektoren und , so erhält man als Ergebnis des Vektorprodukts einen Vektor , der senkrecht auf der von und aufgespannten Fläche steht (siehe Abbildung). Weiterhin bilden die drei Vektoren , und ein Rechtssystem, das heißt sie sind gemäß der Rechten-Hand-Regel I miteinander verknüpft. Der Betrag des Vektors lässt sich als Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms interpretieren und wird wie folgt bestimmt:
Dabei bezeichnet den Winkel, der von den beiden Vektoren eingeschlossen wird und Werte zwischen und annehmen kann (siehe Abbildung). Weiterhin gilt es zu beachten, dass das Vektorprodukt ausschließlich für den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum definiert ist. Dabei gilt der folgende Zusammenhang:
Beispiel: Beispiel für das Vektorprodukt
Beispiel. |