Skalarprodukt: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 4. Februar 2012, 12:43 Uhr
Bei der Multiplikation zweier Vektoren handelt es sich entweder um das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) oder aber um das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt liefert als Ergebnis ein Skalar, das Vektorprodukt hingegen liefert als Ergebnis wieder einen Vektor. Betrachtet man zwei Vektoren 
und 
, so ist das zugehörige Skalarprodukt wie folgt definiert:
Dabei bezeichnet 
den Winkel, der von den beiden Vektoren eingeschlossen wird und Werte zwischen 
und 
annehmen kann (siehe Abbildung). Der Einfachheit halber lässt man den Punkt zur Kennzeichnung des Skalarprodukts häufig weg, da bei der Multiplikation zweier Vektoren nur das Skalarprodukt und das Vektorprodukt in Frage kommen und letzteres ohnehin durch ein Kreuz (also zum Beispiel 
) gekennzeichnet wird.
Betrachtet man nun die rechte Seite der oben angegebenen Beziehung zur Bestimmung des Skalarprodukts und die zugehörige Abbildung, so lässt sich der folgende Zusammenhang feststellen: Projiziert man den Vektor auf die Richtung des Vektors , so erhält man hierbei gerade die Strecke 
. Daraus folgt, dass das Ergebnis des Skalarprodukts als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen 
und aufgefasst werden kann. Die Projektion kann auch in umgekehrter Reihenfolge (Projektion des Vektors auf die Richtung des Vektors ) ausgeführt werden, so dass man die Strecke 
erhält. Die Multiplikation dieses Terms mit 
führt zu einem Rechteck mit identischem Flächeninhalt aber einem anderen Seitenverhältnis (siehe Abbildung).
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung des Skalarprodukts ist dadurch gegeben, dass man zunächst die korrespondierenden Komponenten multipliziert und anschließend aufsummiert:
Ganz allgemein - zum Beispiel wenn man es nicht mit Vektoren aus dem kartesischen Koordinatensystem zu tun hat - lässt sich das Skalarprodukt wie folgt bestimmen:
Anhand der beschriebenen Zusammenhänge zeigt sich, dass das Skalarprodukt dem Kommutativgesetz genügt. Somit gilt:
Weiterhin ergeben sich einige Sonderfälle, die im technischen Kontext häufig zu Vereinfachungen führen:
 Beispiel: Beispiel für das Skalarprodukt
Beispiel. |
