Kugelkoordinaten

Bei den Kugelkoordinaten $\left( \mathrm{u}_1 = r, \mathrm{u}_2 = \vartheta, \mathrm{u}_3 = \varphi \right)$ beschreibt die Koordinate $r$ den Abstand eines Punktes $\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)$ vom Ursprung. Die Koordinatenfläche $r = \mathrm{const.}$ entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel $\vartheta$ wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich $0 \leq \vartheta \leq \pi$. Der positiven z-Achse ist der Wert $\vartheta = 0$ zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert $\vartheta = \pi$. Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen $\theta$ liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator $\vartheta = \pi/2$. Die Koordinate $\varphi$ ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.

Abbildung 1: Kugelkoordinaten

Ein Punkt $\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)$ auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate $\mathrm{z} = r \cos \vartheta$ und den Abstand $\rho = r \sin \vartheta$ von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand in die , dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen in der Form:

$\begin{align} \mathrm{x} &= r \sin\vartheta \cos\varphi& && 0 &\leq r < \infty\\ \mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \vartheta \leq \pi\\ \mathrm{z} &= r \cos \vartheta& && 0 &\leq \varphi < 2 \pi \end{align}$

Formel (1)

verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen Formel (1) in die berechnet werden:

$\begin{align} h_1 &= h_r = 1\\ h_2 &= h_\vartheta = r\\ h_3 &= h_\varphi = r \sin\vartheta \end{align}$

Formel (2)

Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit

$\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r + \vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta + \vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi$

und für das Volumenelement mit :

$\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi$

Mit dem Ortsvektor ()

$\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta$

Formel (3)

und den metrischen Faktoren Formel (2) werden aus die Einheitsvektoren bestimmt:

$\begin{align} \vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta\\ \vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\vartheta = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \vartheta} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\vartheta \sin\varphi - \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \sin\vartheta\\ \vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{1}{r \sin\vartheta}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\varphi \end{align}$

Formel (4)

Durch Vergleich der Beziehung Formel (3) mit der 1. Zeile in Formel (4) erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in X Kugelkoordinaten:

$\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_r r$

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich) http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.) http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.)