Einheitsvektoren: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 30. Januar 2012, 22:35 Uhr

Einheitsvektor

Unter einem Einheitsvektor versteht man allgemein einen Vektor mit dem Betrag beziehungsweise der Länge 1. Der Einheitsvektor \vec{\textbf{e}}_{a} zu einem gegebenen Vektor \vec{\textbf{a}} lässt sich dadurch bestimmen, dass man den gegebenen Vektor durch seinen Betrag dividiert:

\vec{\textbf{e}}_{a} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{|\vec{\textbf{a}}|} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}} = \frac{1}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}} \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{bmatrix}

Der Vektor \vec{\textbf{e}}_{a} hat die Länge 1 (es gilt also |\vec{\textbf{e}}_{a}| = 1) und zeigt in Richtung des Vektors \vec{\textbf{a}}. Auf diese Weise lässt sich jeder Vektor als Produkt aus seinem Betrag und dem dazugehörigen Einheitsvektor angeben. Der Vektor \vec{\textbf{a}} kann somit auch wie folgt dargestellt werden:

\vec{\textbf{a}} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{|\vec{\textbf{a}}|} |\vec{\textbf{a}}| = \vec{\textbf{e}}_{a} |\vec{\textbf{a}}|
Beispiel: Bestimmung des Einheitsvektors zu einem gegebenen Vektor

Gegeben sei der Vektor \vec{\textbf{b}} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \end{bmatrix}^\text{T} (das ^\text{T} steht für Transposition), zu dem der zugehörige Einheitsvektor bestimmt werden soll. In diesem Fall folgt:

\vec{\textbf{e}}_{b} = \frac{\vec{\textbf{b}}}{|\vec{\textbf{b}}|} = \frac{1}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{25}} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5}\\ 0\\ \frac{4}{5} \end{bmatrix}

Das der Einheitsvektor tatsächlich die Länge 1 hat, lässt sich leicht durch die Bestimmung des Betrags überprüfen:

|\vec{\textbf{e}}_{b}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = \sqrt{1} = 1

Literatur

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