Einführung zu linearen Gleichungssystemen

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Ein Netzwerk aus linearen Zweipolen

Im Rahmen der Lehrveranstaltung werden lineare Gleichungssysteme (kurz LGS) zur Beschreibung linearer Netzwerke benötigt. Darunter versteht man eine beliebige Zusammenschaltung aktiver (z. B. Strom- und Spannungsquellen) und passiver (z. B. ohmsche Widerstände) linearer Zweipole. Ausgangspunkt zur Bestimmung solcher Gleichungssysteme sind in der Regel die Kirchhoffschen Gesetze, also Maschen- und Knotengleichungen. Möchte man nämlich $z$ unbekannte Größen (z. B. Spannungen) in einem Netzwerk bestimmen, so sind hierzu auch (mindestens) $z$ linear unabhängige Gleichungen erforderlich. Die Verknüpfung dieser Gleichungen zu einem Gleichungssystem widerspiegelt die Tatsache, dass im Allgemeinen jeder Zweipol die Zweigspannungen und -ströme eines Netzwerks beeinflusst.

Durch eine systematische Vorgehensweise – nämlich der Knoten- und Maschenanalyse – lassen sich lineare Gleichungssysteme aufstellen, die eine gezielte Bestimmung von unbekannten Zweigspannungen beziehungsweise -strömen in einem Netzwerk ermöglichen. Im Rahmen einer Maschenanalyse könnten zum Beispiel die folgenden drei Gleichungen ermittelt worden sein:

Dieses System aus linearen Gleichungen lässt sich auch in Matrixschreibweise angeben:

Bei der Schreibweise handelt es sich folglich nur um eine spezielle Darstellungsweise des Gleichungssystems, die weitere Rechnungen vereinfacht. Bezeichnet man die Widerstandsmatrix mit $\textbf{W}$, den Vektor der Ströme in den Verbindungszweigen mit $\vec{\textbf{I}}_\nu$ und den Quellspannungsvektor mit $\vec{\textbf{U}}_0$, so folgt:

$\textbf{W} \vec{\textbf{I}}_\nu = \vec{\textbf{U}}_0$