Einführung zu linearen Gleichungssystemen: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 23. November 2012, 17:27 Uhr
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Im Rahmen der Lehrveranstaltung werden lineare Gleichungssysteme (kurz LGS) zur Beschreibung linearer Netzwerke benötigt. Darunter versteht man eine beliebige Zusammenschaltung aktiver (z. B. Strom- und Spannungsquellen) und passiver (z. B. ohmsche Widerstände) linearer Zweipole. Ausgangspunkt zur Bestimmung solcher Gleichungssysteme sind in der Regel die Kirchhoffschen Gesetze, also Maschen- und Knotengleichungen. Möchte man nämlich 
unbekannte Größen (z. B. Spannungen) in einem Netzwerk bestimmen, so sind hierzu auch (mindestens) linear unabhängige Gleichungen erforderlich. Die Verknüpfung dieser Gleichungen zu einem Gleichungssystem widerspiegelt die Tatsache, dass im Allgemeinen jeder Zweipol die Zweigspannungen und -ströme eines Netzwerks beeinflusst.
Durch eine systematische Vorgehensweise – nämlich der Knoten- und Maschenanalyse – lassen sich lineare Gleichungssysteme aufstellen, die eine gezielte Bestimmung von unbekannten Zweigspannungen beziehungsweise -strömen in einem Netzwerk ermöglichen. Im Rahmen einer Maschenanalyse könnten zum Beispiel die folgenden drei Gleichungen ermittelt worden sein:
Dieses System aus linearen Gleichungen lässt sich auch in Matrixschreibweise angeben:
Bei der Schreibweise handelt es sich folglich nur um eine spezielle Darstellungsweise des Gleichungssystems, die weitere Rechnungen vereinfacht. Unter einer Matrix ist damit ein Zahlenschema zu verstehen, welches aus 
Zeilen und 
Spalten besteht (
-Matrix). Bezeichnet man die Widerstandsmatrix mit 
, den Vektor der Ströme in den Verbindungszweigen mit 
und den Quellspannungsvektor mit 
, so folgt:
Die gesuchten Größen (im Rahmen der Maschenanalyse die Ströme in den Verbindungszweigen) sind dabei die Komponenten des Vektors . Mit Hilfe einer Knotenanalyse ist die gezielte Bestimmung der Spannungen in den Baumzweigen möglich, in diesem Fall erhält man in Matrixschreibweise:
Die Form des Gleichungssystems ändert sich also nicht, jedoch bezeichnet 
nun die Leitwertmatrix (also eine Matrix mit Leitwerten), 
den Vektor der gesuchten Spannungen in den Baumzweigen und 
den Quellstromvektor. Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von unbekannten Größen auch (mindestens) linear unabhängige Gleichungen erforderlich sind, sind die in der Lehrveranstaltung vorkommenden Widerstands- und Leitwertmatrizen meist quadratisch. Das bedeutet, dass die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist (
-Matrix). In diesem Fall lassen sich die gesuchten Größen besonders einfach mit Hilfe der Cramersche Regel bestimmen.
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