Einführung zu linearen Gleichungssystemen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. November 2012, 20:00 Uhr

Ein Netzwerk aus linearen Zweipolen

Im Rahmen der Lehrveranstaltung werden lineare Gleichungssysteme (kurz LGS) zur Beschreibung linearer Netzwerke benötigt. Darunter versteht man eine beliebige Zusammenschaltung aktiver (z. B. Strom- und Spannungsquellen) und passiver (z. B. ohmsche Widerstände) linearer Zweipole. Ausgangspunkt zur Bestimmung solcher Gleichungssysteme sind in der Regel die Kirchhoffschen Gesetze, also Maschen- und Knotengleichungen. Möchte man nämlich unbekannte Größen (z. B. Spannungen) in einem Netzwerk bestimmen, so sind hierzu auch (mindestens) linear unabhängige Gleichungen erforderlich. Die Verknüpfung dieser Gleichungen zu einem Gleichungssystem widerspiegelt die Tatsache, dass im Allgemeinen jeder Zweipol die Zweigspannungen und -ströme eines Netzwerks beeinflusst.

Durch eine systematische Vorgehensweise – nämlich der Knoten- und Maschenanalyse – lassen sich lineare Gleichungssysteme aufstellen, die eine gezielte Bestimmung von unbekannten Zweigspannungen beziehungsweise -strömen in einem Netzwerk ermöglichen. Im Rahmen einer Maschenanalyse könnten zum Beispiel die folgenden drei Gleichungen ermittelt worden sein:

Dieses System aus linearen Gleichungen lässt sich auch in Matrixschreibweise angeben:

Bei der Schreibweise handelt es sich folglich nur um eine spezielle Darstellungsweise des Gleichungssystems, die weitere Rechnungen vereinfacht. Unter einer Matrix ist damit ein Zahlenschema zu verstehen, welches aus Zeilen und Spalten besteht (-Matrix). Bezeichnet man die Widerstandsmatrix mit , den Vektor der Ströme in den Verbindungszweigen mit und den Quellspannungsvektor mit , so folgt:

Weiter: Hinweis auf Besonderheit der Position der gesuchten Größen => Knotenanalyse => Allgemeine Form => Nächster Artikel.