Differentialquotient: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. August 2012, 10:49 Uhr

To-do:

• Einleitung etwas plausibler (es gibt doch genügend Beispiele)
• Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)
• Eingangsbeispiel ist wenig anschaulich (zu verwirrend dargestellt, insbesondere die Grafik). Im Skript ist doch eine gute Grafik?!
• Mehrere Sätze, die nicht nachvollziehbar sind.
• Generalisierbarkeit hervorheben - es soll das Konzept des Differentialquotienten an einem Beispiel verdeutlicht werden, nicht ein Beispiel zur präsentiert werden, in dem der DfQ vorkommt.
• Literaturangaben: Ausführung, Rechtschreibung, usw.
• Erklärung des Begriffs Differential und Bedeutung für Diff- und Intrechnung!!!
• Vorkommen des Begriffs in den Integralen bzw. Zusammenhang zum Artikel Infinitesimale_Weg-,_Flächen-,_und_Volumenelemente

Strom ist eine gewisse Ladungsmenge, die in einer gewissen Zeit durch einen Leiterquerschnitt fließt

In der nebenstehenden Abbildung ist ein Ladungsfluss im Leiterquerschnitt zu sehen. Dort wird eine gewisse Ladung pro Zeitintervall betrachtet. Diese Ladung pro Zeit ist nichts anderes als ein Strom.

oder als Formel:

Der Strom kann sowohl von den Ladungsträgern als auch durch das Zeitintervall bestimmt werden. Das gleicher Strom dabei nicht unbedingt gleiche Geschwindigkeit der Ladungsträger bedeutet wird dabei im folgenden deutlich:

Wenn viele Ladungsträger langsam durch eine Testfläche fließen, kann das die gleiche Stromstärke bedeuten, wie wenn relativ wenig Ladungsträger sich schnell durch die Testfläche bewegen. Betrachtet man einen relativ großen Zeitintervall ist nicht zu erkennen, ob die Ladungsträger möglicherweise nicht gleichmäßig verteilt sind oder sich unterschiedlich schnell bewegen. Deswegen wird durch den Quotienten immer nur die mittlere Stromstärke im Intervall bestimmt. Möchte man aber den Momentanwert an einer Stelle berechnen I(t), so muss man das Zeitintervall immer kleiner machen. Dabei wird die Ladungsmenge , die in diesem Zeitbereich fließt auch immer kleiner.

Für , oder auch , was auf das selbe hinausläuft, nähert sich der Quotient einem Grenzwert, der dem Momentanwert des Stromes zum Zeitpunkt t entspricht.

Dieser Grenzwert wird als

bezeichnet.

Beispiel: Konstanter Strom im Vergleich zum variablen Strom (klingt so als gäbe es zwei Stromtypen!) Bei einem konstanten Strom I lässt sich die Ladung, die in der Zeit durch (eine Querschnittsfläche in einem Kabel) beispielsweise ein Kabel geflossen ist, durch die Fläche unter der Geraden I im Bereich darstellen (siehe Abbildung) (Ziemlich unverständlich!). Ganz analog folgt die Berechnung dazu (hä?): Ist der Strom zeitlich variabel, muss über I(t) ("über I(t) integrieren"? Außerdem werden zeitlich veränderliche Größen mit kleinen Buchstaben gekennzeichnet.) integriert werden um die Fläche und so die durchflossene Ladnung zu bestimmen. Betrachtet man den Quotienten :

Multimediale Lehrmaterialien

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• www.leifiphysik.de
• wikiversity Kurs: Infinitesimal-Rechnung' Stand: 10. Oktober 2010
• Jänich, Mathematik 1: Für Physiker