Cramersche Regel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 30. November 2012, 16:51 Uhr

Übersicht: Lineare Gleichungssysteme

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Beispielnetzwerk zur Anwendung der Cramerschen Regel

Die Cramersche Regel wird auch als Determinantenverfahren bezeichnet und stellt eine Methode (es existieren viele weitere wie zum Beispiel das Gaußsche Eliminationsverfahren) zur Lösung linearer Gleichungssysteme dar. Die nachfolgenden Ausführungen beziehen sich zunächst auf ein allgemeines lineares Gleichungssystem $\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}$ , anschließend wird ein konkretes Beispiel betrachtet. Voraussetzung für die Anwendung des Verfahrens ist, dass die Koeffizientenmatrix $\textbf{A}$ quadratisch ist und ihre Determinante $\det\textbf{A}$ nicht verschwindet (es muss also $\det\textbf{A} \neq 0$ gelten). Solche Gleichungssysteme ergeben sich beispielsweise im Rahmen einer Knoten- oder Maschenanalyse.

Die Cramersche Regel lautet dann wie folgt:

x_i = \frac{\det(\textbf{A},\vec{\textbf{b}})_i}{\det \textbf{A}}

Dabei bezeichnet $(\textbf{A},\vec{\textbf{b}})_i$ die $n \times n$ -Matrix, bei der die $i$ -te Spalte von $\textbf{A}$ durch den Spaltenvektor $\vec{\textbf{b}}$ ersetzt wurde. Das Element (die Komponente) $x_i$ des Vektors $\vec{\textbf{x}}$ ergibt sich dann aus dem Quotienten der Determinante von $(\textbf{A},\vec{\textbf{b}})_i$ und der Determinante von $\textbf{A}$ .

Zur Veranschaulichung der Regel wird nachfolgend das Beispiel aus der Einführung aufgegriffen:

Dieses Gleichungssystem der Form

\textbf{W} \cdot \vec{\textbf{I}}_\nu = \vec{\textbf{U}}_0

wurde im Rahmen einer Maschenanalyse ermittelt und nachfolgend sollen die Komponenten des Vektors $\vec{\textbf{I}}_\nu$ , nämlich die Ströme $I_3$ , $I_5$ und $I_6$ , bestimmt werden. Der Strom $I_3$ ist das erste Element des Vektors mit den gesuchten Größen, somit ist auch die erste Spalte der Widerstandsmatrix $\textbf{W}$ durch den Quellspannungsvektor zu ersetzen, so dass folgt:

Da es sich hier um $3 \times 3$ -Matrizen handelt, können die Determinanten zum Beispiel schnell mit der Regel von Sarrus berechnet werden. Für die Ströme $I_5$ und $I_6$ kann analog vorgegangen werden. Da der Strom $I_5$ das zweite Element des Vektors mit den gesuchten Größen darstellt, muss auch die zweite Spalte der Widerstandsmatrix $\textbf{W}$ durch den Quellspannungsvektor ersetzt werden:

Der Strom $I_6$ ist das dritte Element des Vektors mit den gesuchten Größen, daher muss auch die dritte Spalte der Widerstandsmatrix $\textbf{W}$ durch den Quellspannungsvektor ersetzt werden:

Die Determinanten der Matrizen sind in diesem Beispiel sehr lange Terme, daher werden diese hier nicht explizit berechnet. Grundsätzlich können jedoch alle weiteren Größen (also die Widerstände und Quellen) als bekannt vorausgesetzt werden, so dass die obigen Gleichungen auch als kompakte Darstellungen der Endergebnisse aufgefasst werden können.

Beispiel: Einfaches Zahlenbeispiel

Gegeben ist das nachfolgende lineare Gleichungssystem:

Somit folgt für die gesuchten Größen:

Die Richtigkeit dieses Ergebnisses kann leicht durch Einsetzen überprüft werden (Probe).

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-{{Vorlage:Baustelle}}
+{{Navigation|before=[[Determinante]]|overview=[[Lineare Gleichungssysteme:Übersicht|Lineare Gleichungssysteme]]|next='''Ende'''}}
-{{Navigation|before=[[Determinante einer quadratischen Matrix]]|overview=[[Lineare Gleichungssysteme:Übersicht|Lineare Gleichungssysteme]]|next=[[Vektorrechnung:Übersicht|Übersicht Vektorrechnung]]}}
+[[Datei:Netzwerk.png||miniatur|400px|Beispielnetzwerk zur Anwendung der Cramerschen Regel]]
-Die Cramersche Regel wird auch als '''Determinantenverfahren''' bezeichnet und stellt eine Methode zur Lösung [[Einführung zu linearen Gleichungssystemen|linearer Gleichungssysteme]] dar. Die nachfolgenden Ausführungen beziehen sich zunächst auf ein allgemeines lineares Gleichungssystem <math>\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}</math>, anschließend wird ein konkretes Beispiel betrachtet. Voraussetzung für die Anwendung des Verfahrens ist, dass die [[Koeffizientenmatrix]] <math>\textbf{A}</math> quadratisch ist und ihre [[Determinante]] <math>\det\textbf{A}</math> nicht verschwindet (es muss also <math>\det\textbf{A} \neq 0</math> gelten). Solche Gleichungssysteme ergeben sich beispielsweise im Rahmen einer Knoten- oder Maschenanalyse.
+Die Cramersche Regel wird auch als '''Determinantenverfahren''' bezeichnet und stellt eine Methode (es existieren viele weitere wie zum Beispiel das Gaußsche Eliminationsverfahren) zur Lösung [[Einführung zu linearen Gleichungssystemen|linearer Gleichungssysteme]] dar. Die nachfolgenden Ausführungen beziehen sich zunächst auf ein allgemeines lineares Gleichungssystem <math>\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}</math>, anschließend wird ein konkretes Beispiel betrachtet. Voraussetzung für die Anwendung des Verfahrens ist, dass die [[Allgemeine_Formulierung_linearer_Gleichungssysteme|Koeffizientenmatrix]] <math>\textbf{A}</math> quadratisch ist und ihre [[Determinante]] <math>\det\textbf{A}</math> nicht verschwindet (es muss also <math>\det\textbf{A} \neq 0</math> gelten). Solche Gleichungssysteme ergeben sich beispielsweise im Rahmen einer Knoten- oder Maschenanalyse.
 Die Cramersche Regel lautet dann wie folgt:
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 [[Datei:Beispiel-lgs-matrix.png|Beispiel für ein lineares Gleichungssystem]]
-Dieses Gleichungssystem der Form <math>\textbf{W} \cdot \vec{\textbf{I}}_\nu = \vec{\textbf{U}}_0</math> wurde im Rahmen einer Maschenanalyse ermittelt und nachfolgend sollen die Ströme <math>I_3</math>, <math>I_5</math> und <math>I_6</math> bestimmt werden. Der Strom <math>I_3</math> ist das ''erste'' Element des Vektors mit den gesuchten Größen, somit ist auch zunächst die ''erste'' Spalte der Widerstandsmatrix <math>\textbf{W}</math> durch den Quellspannungsvektor zu ersetzen, so dass folgt:
+Dieses Gleichungssystem der Form
 :<math>
-I_3 = \frac{\det(\textbf{W},\vec{\textbf{I}}_\nu)_1}{\det \textbf{W}} =
+\textbf{W} \cdot \vec{\textbf{I}}_\nu = \vec{\textbf{U}}_0
-\frac{
-\det
-\begin{bmatrix}
-R_1 I_{01} -  U_{02} - U_{03} & -R_2 & R_1\\
-U_{02} & R_2 + R_4 + R_5 & R_4\\
-R_1 I_{01} & R_4 & R_1 + R_4 + R_6
-\end{bmatrix}
-}
-{
-\det
-\begin{bmatrix}
-R_1 + R_2 + R_3 & -R_2 & R_1\\
--R_2 & R_2 + R_4 + R_5 & R_4\\
-R_1 & R_4 & R_1 + R_4 + R_6
-\end{bmatrix}
-}
-</math>
-Da es sich hier um <math>3 \times 3</math>-Matrizen handelt, können die Determinanten schnell zum Beispiel mit der Regel von Sarrus berechnet werden. Für die Ströme <math>I_5</math> und <math>I_6</math> kann analog vorgegangen werden. Da der Strom <math>I_5</math> das ''zweite'' Element des Vektors mit den gesuchten Größen darstellt, muss auch die ''zweite'' Spalte der Widerstandsmatrix <math>\textbf{W}</math> durch den Quellspannungsvektor ersetzt werden.
-:<math>
-I_5 = \frac{\det(\textbf{W},\vec{\textbf{I}}_\nu)_1}{\det \textbf{W}} =
-\frac{
-\det
-\begin{bmatrix}
-R_1 + R_2 + R_3 & R_1 I_{01} -  U_{02} - U_{03} & R_1\\
--R_2 & U_{02} & R_4\\
-R_1 & R_1 I_{01} & R_1 + R_4 + R_6
-\end{bmatrix}
-}
-{
-\det
-\begin{bmatrix}
-R_1 + R_2 + R_3 & -R_2 & R_1\\
--R_2 & R_2 + R_4 + R_5 & R_4\\
-R_1 & R_4 & R_1 + R_4 + R_6
-\end{bmatrix}
-}
 </math>
+wurde im Rahmen einer Maschenanalyse ermittelt und nachfolgend sollen die Komponenten des Vektors <math>\vec{\textbf{I}}_\nu</math>, nämlich die Ströme <math>I_3</math>, <math>I_5</math> und <math>I_6</math>, bestimmt werden. Der Strom <math>I_3</math> ist das ''erste'' Element des Vektors mit den gesuchten Größen, somit ist auch die ''erste'' Spalte der Widerstandsmatrix <math>\textbf{W}</math> durch den Quellspannungsvektor zu ersetzen, so dass folgt:
+[[Datei:Beispiel-lgs-strom3.png|Beispiel zur Anwendung der Cramerschen Regel]]
+Da es sich hier um <math>3 \times 3</math>-Matrizen handelt, können die Determinanten zum Beispiel schnell mit der [[Regel von Sarrus]] berechnet werden. Für die Ströme <math>I_5</math> und <math>I_6</math> kann analog vorgegangen werden. Da der Strom <math>I_5</math> das ''zweite'' Element des Vektors mit den gesuchten Größen darstellt, muss auch die ''zweite'' Spalte der Widerstandsmatrix <math>\textbf{W}</math> durch den Quellspannungsvektor ersetzt werden:
+[[Datei:Beispiel-lgs-strom5.png|Beispiel zur Anwendung der Cramerschen Regel]]
+Der Strom <math>I_6</math> ist das ''dritte'' Element des Vektors mit den gesuchten Größen, daher muss auch die ''dritte'' Spalte der Widerstandsmatrix <math>\textbf{W}</math> durch den Quellspannungsvektor ersetzt werden:
+[[Datei:Beispiel-lgs-strom6.png|Beispiel zur Anwendung der Cramerschen Regel]]
+Die Determinanten der Matrizen sind in diesem Beispiel sehr lange Terme, daher werden diese hier nicht explizit berechnet. Grundsätzlich können jedoch alle weiteren Größen (also die Widerstände und Quellen) als bekannt vorausgesetzt werden, so dass die obigen Gleichungen auch als kompakte Darstellungen der Endergebnisse aufgefasst werden können.
+{{Beispiel
+|Titel=Einfaches Zahlenbeispiel
+|Inhalt=
+Gegeben ist das nachfolgende lineare Gleichungssystem:
+[[Datei:Lgs-zahlenbeispiel1.png|Beispiel zur Anwendung der Cramerschen Regel]]
+Somit folgt für die gesuchten Größen:
+[[Datei:Lgs-zahlenbeispiel2.png|Beispiel zur Anwendung der Cramerschen Regel]]
+Die Richtigkeit dieses Ergebnisses kann leicht durch Einsetzen überprüft werden (Probe).
+}}
 [[Kategorie:Artikel]]
 [[Kategorie:Feedback]]

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