Getb:Differenzialgleichungen bei elektrischen Netzwerken

Beschreibung von elektrischen Netzwerken durch Differenzialgleichungen

Das Verhalten von reinen Widerstandsnetzwerken kann durch „normale“ Gleichungen beschrieben werden. Dies liegt daran, dass die Zweipolgleichung eines Widerstandes

$R = \frac{u}{i}$

auch eine ganz normale Gleichung ist. Die entsprechenden Größen (Strom und Spannung) kommen immer nur mit ihrem aktuellen Wert in der Bauteilgleichung vor, der zurückliegende Verlauf („die Vorgeschichte“) spielt für die Momentanwerte keine Rolle. Deshalb kommen keine Änderungsraten bzw. Ableitungen in der Bauteilgleichung vor. Dies ist bei kapazitiven und induktiven Bauelementen nicht mehr der Fall.

Hinweis zur Notation: In physikalischen Anwendungen ist es üblich, für die zeitliche Ableitung $\dot y$ statt $y'(t)$ zu schreiben. Analog wird für die zweite Ableitung statt $y''(t)$ auch $\ddot y$ geschrieben.

Bei Kondensatoren (kapazitive Eigenschaft) und Spulen (induktive Eigenschaft) ist jeweils der Strom oder die Spannung mit der Ableitung, also der Änderungsrate, der jeweils anderen Größe verknüpft. Bei einem Kondensator hängt die zeitliche Änderungsrate der Spannung von dem Strom durch den Kondensator ab, bei einer Spule hängt die zeitliche Änderungsrate des Stroms von der Spannung an der Spule ab. Anders ausgedrückt ist bei einem Kondensator nur die momentane zeitliche Änderung der Spannung durch den Momentanwert des Stroms gegeben, bei der Spule nur die momentane zeitliche Änderung des Stroms durch den Momentanwert der Spannung. Die absoluten Werte der Spannung eines Kondensators und der Strom einer Spule hängen nicht nur von den Momentanwerten der jeweils anderen Größe, sondern auch von der „Vorgeschichte“ ab. Dieser Zusammenhang wird auch in den entsprechenden Zweipolgleichungen ersichtlich:

Kondensator: $i_C = C \cdot \dot u_C$

Spule: $u_L = L \cdot \dot i_l$

Man stellt fest, dass diese Zweipolgleichungen selbst schon einfache Differenzialgleichungen sind. In beiden Fällen kommt nur die erste Ableitung einer Funktion vor, nicht aber die Funktion selbst. Die Bauteilgleichung des Kondensators ist bezogen auf die Spannung eine Differenzialgleichung 1. Ordnung, und die Bauteilgleichung der Spule ist bezogen auf den Strom eine Differenzialgleichung 1. Ordnung. Aus diesem Grund treten bei bei der Analyse und der mathematischen Beschreibung von Netzwerken, die Kondensatoren und/oder Spulen enthalten, Differenzialgleichungen auf.

Aufstellen der Differenzialgleichungen eines Netzwerks

Um die Differenzialgleichung eines Netzwerks aufzustellen, müssen die Bauteilgleichungen, sowie Maschengleichungen und Knotengleichungen ausgewertet werden. Durch geschicktes Umformen und Einsetzen erhält man dann eine Differenzialgleichung, die eine Größe des Netzwerks beschreibt. Aus dieser, nach Lösung der DGL bekannten Größe, lassen sich danach weitere Größen des Netzwerks bestimmen.

Die Bauteilgleichungen für die elementaren Bauteile lauten:

Ohmscher Widerstand: $u_R = R \cdot i_r$

Kondensator: $i_C = C \cdot \dot u_C$

Spule: $u_L = L \cdot \dot i_L$