Allgemeine Formulierung linearer Gleichungssysteme

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Bedeutung der Indizes bei Matrixelementen

Im Rahmen der Einführung zu linearen Gleichungssystemen wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:

\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}

Dabei werden die nachstehenden Bezeichnungen verwendet:

\textbf{A}

: Koeffizientenmatrix

\vec{\textbf{x}}

: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)

\vec{\textbf{b}}

: Konstantenvektor oder „rechte Seite“

Dabei handelt es sich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus $m$ linearen Gleichungen mit $n$ unbekannten Variablen $x_1, x_2, \dots, x_n$ vor:

In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:

Die Elemente (Einträge) der $m\times n$ -Matrix $\textbf{A}$ werden also mit $a_{ij}$ bezeichnet, wobei $i$ die Zeile und $j$ die Spalte des betrachteten Elements angibt (vgl. Abbildung).

Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von $n$ unbekannten Größen auch (mindestens) $n$ linear unabhängige Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei $\textbf{A}$ häufig um eine quadratische Matrix. In diesem Fall gilt $m=n$ und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch ( $n\times n$ -Matrix).

Lösung linearer Gleichungssysteme

Zur Lösung linearer Gleichungssysteme, also zur Bestimmung der Größen $x_1, x_2, \dots, x_n$ beziehungsweise des Vektors $\vec{\textbf{x}}$ , existiert eine Vielzahl von Verfahren. Handelt es sich bei $\textbf{A}$ um eine quadratische Matrix, so kann beispielsweise die Cramersche Regel verwendet werden. Ausgangspunkt für die weiteren Betrachtungen ist zunächst eine Gleichung mit ausschließlich skalaren Größen $A$ , $x$ und $b$ :