Allgemeine Formulierung linearer Gleichungssysteme

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Bedeutung der Indizes bei Matrixelementen

Im Rahmen der Einführung zu linearen Gleichungssystemen wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:

$\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}$

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:

$\textbf{A}$: Koeffizientenmatrix

$\vec{\textbf{x}}$: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)

$\vec{\textbf{b}}$: Konstantenvektor oder „rechte Seite“

Dabei handelt es sich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus $m$ linearen Gleichungen mit $n$ unbekannten Variablen $x_1, x_2, \dots, x_n$ vor:

In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:

Die Elemente (Einträge) der $m\times n$-Matrix $\textbf{A}$ werden also mit $a_{ij}$ bezeichnet, wobei $i$ die Zeile und $j$ die Spalte des betrachteten Elements angibt (vgl. Abbildung).

Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von $n$ unbekannten Größen auch (mindestens) $n$ linear unabhängige Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei $\textbf{A}$ häufig um eine quadratische Matrix ($n\times n$-Matrix). In diesem Fall ist die Anzahl der Zeilen und Spalten also identisch.

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To-Do:

• Bild zur Indizierung oben rechts einfügen
• Zusammenhang zur Multiplikation von Matrizen
• Hinweis zur Anzahl der Zeilen und Spalten
• Übergang zu quadratischen Matrizen
• Lösung solcher Gleichungssysteme und entsprechende Bedingungen