Allgemeine Formulierung linearer Gleichungssysteme

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Im Rahmen der Einführung zu linearen Gleichungssystemen wurde bereits beschrieben, dass diese wie nachfolgend angegeben notiert werden können:

$\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}$

Dabei werden allgemein die folgenden Bezeichnungen verwendet:

$\textbf{A}$: Koeffizientenmatrix

$\vec{\textbf{x}}$: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)

$\vec{\textbf{b}}$: Konstantenvektor oder „rechte Seite“

Dabei handelt es sich lediglich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus $m$ linearen Gleichungen mit $n$ unbekannten Variablen $x_1, x_2, \dots, x_n$ vor:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n}x_n & = & b_2\\ \vdots &&&\vdots&\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn}x_n & = & b_m\\ \end{matrix}$

In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \dots\\ x_n \end{bmatrix}$