Determinante

Dieser Artikel befindet sich noch im Aufbau.

Unter einer Determinante versteht man eine Zahl, die auf eindeutige Weise einer quadratischen Matrix zugeordnet werden kann. Die Zahl sagt etwas aus (determinieren = bestimmen/festlegen) über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems der Form $\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}$ und spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der zugehörigen Lösung (vgl. Cramersche Regel). Die Ordnung einer Determinante entspricht der Anzahl der Zeilen (da sich der Begriff auf quadratische Matrizen bezieht stimmt diese mit der Anzahl der Spalten überein) der betrachteten Matrix. Ist die Determinante einer Matrix $\textbf{A}$ zu bestimmen, so wird dies durch folgende Schreibweisen gekennzeichnet:

$\det \textbf{A} = |\textbf{A}|$

Neben der Verwendung des Operators $\det$ werden also auch häufig einfach Betragsstriche verwendet.

Es lässt sich zeigen, dass ein lineares Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix $\textbf{A}$ ungleich Null ist (es muss also $\det\textbf{A} \neq 0$ gelten). Ist dies nicht der Fall, so besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung (die Zeilen von $\textbf{A}$ sind dann nicht linear unabhängig). Wurde das lineare Gleichungssystem im Rahmen einer Knoten- und Maschenanalyse ermittelt, so ist dieses jedoch normalerweise eindeutig lösbar.

Determinanten zweiter Ordnung

Eine Determinante zweiter Ordnung bezieht sich auf eine $2\times 2$-Matrix. In diesem Fall kann die Determinante sofort angegeben werden, indem man die Produkte der Diagonalelemente wie folgt voneinander subtrahiert:

Ein einfaches Zahlenbeispiel für diesen Fall findet sich unten im Artikel Cramersche Regel.

Determinanten dritter Ordnung

Zur Bestimmung der Determinante einer $3\times 3$-Matrix ist die Regel von Sarrus (auch als Jägerzaun-Regel bekannt) ein hilfreiches Werkzeug. Zunächst schreibt man die ersten zwei Spalten erneut rechts neben die Matrix und verbindet die Diagonalen mit Linien, die die auszuführenden Rechenoperationen vorgeben:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\,\, \begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}$