Einführung zu linearen Gleichungssystemen

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Ein Netzwerk aus linearen Zweipolen

Im Rahmen der Lehrveranstaltung werden lineare Gleichungssysteme (kurz LGS) zur Beschreibung linearer Netzwerke benötigt. Darunter versteht man eine beliebige Zusammenschaltung aktiver (z. B. Strom- und Spannungsquellen) und passiver (z. B. ohmsche Widerstände) linearer Zweipole. Ausgangspunkt zur Bestimmung solcher Gleichungssysteme sind in der Regel die Kirchhoffschen Gesetze, also Maschen- und Knotengleichungen. Möchte man nämlich $z$ unbekannte Größen (z. B. Spannungen) in einem Netzwerk bestimmen, so sind hierzu auch (mindestens) $z$ linear unabhängige Gleichungen erforderlich. Die Verknüpfung dieser Gleichungen zu einem Gleichungssystem widerspiegelt die Tatsache, dass im Allgemeinen jeder Zweipol die Zweigspannungen und -ströme eines Netzwerks beeinflusst.

Durch eine systematische Vorgehensweise – nämlich der Knoten- und Maschenanalyse – lassen sich lineare Gleichungssysteme aufstellen, die eine gezielte Bestimmung von unbekannten Zweigspannungen beziehungsweise -strömen in einem Netzwerk ermöglichen. Im Rahmen einer Maschenanalyse könnten zum Beispiel die folgenden drei Gleichungen ermittelt worden sein:

$\begin{matrix} (R_1 + R_2 + R_3) I_3 - R_2 I_5 + R_1 I_6 &=& R_1 I_{01} -U_{02} -U_{03}\\ -R_2 I_3 + (R_2 + R_4 + R_5) I_5 + R_4 I_6 &=& U_{02}\\ R_1 I_3 + R_4 I_5 + (R_1 + R_4 + R_6) I_6 &=& R_1 I_{01} \end{matrix}$

Dieses lineare Gleichungssystem lässt sich auch in Matrixschreibweise angeben:

$\begin{bmatrix} R_1 + R_2 + R_3 & -R_2 & R_1\\ -R_2 & R_2 + R_4 + R_5 & R_4\\ R_1 & R_4 & R_1 + R_4 + R_6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_3\\ I_5\\ I_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 I_{01} - U_{02} - U_{03}\\ U_{02}\\ R_1 I_{01} \end{bmatrix}$