Cramersche Regel

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Das Invertieren einer Matrix ist meist sehr aufwendig. Deswegen kann man die Cramersche Regel nutzen, um bei Gleichungssystemen der Form:

$\mathbf{A}\cdot\vec{\mathbf{x}}=\vec{\mathbf{b}}$

den Lösungsvektor $\vec{\mathbf{x}}$ zu bestimmen.

Die Cramersche Regel oder auch das Determinantenverfahren genannt, lautet:

$x_i=\frac{\det{(\mathbf{A,b})}_i}{\det{\mathbf{A}}}$

Dabei ersetzt man zunächst die Spalte mit dem Spaltenvektor $\vec{\mathbf{b}}$ in der Matrix, deren Lösung man haben möchte. Soll berechnet werden welcher Wert an der Stelle $x_1$ im Lösungsvektor steht, muss man die erste Spalte der Matrix mit $\vec{\mathbf{b}}$ ersetzen. Dann müssen die Determinaten der so neu gewonnen Matrix und der Matrix $\mathbf{A}$ bestimmt werden.

Um alle Werte des Lösungsvektors zu bekommen, muss man das Verfahren mehrfach anwenden.

Beispiel: Anwendung der Cramersche Regel Durch eine Knotenanalyse ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem: $\begin{pmatrix} R_1+R_2+R_4 & -R_1 & -R_4 \\ -R_1 & R_1+R_3+R_5 & -R_3 \\ -R_4 & -R_3 & R_3+R_4+R_6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} I_2\\ I_5\\ I_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U_{01}-U_{02}\\ -U_{01}-U_{03}\\ U_{03} \end{pmatrix}$ Nun soll das erste Element des Lösungsvektors, also $i_2$ bestimmt werden. Dazu muss also der Quellvektor in die erste Spalte der Koeffizientenmatrix gesetzt werden.: $I_2= \frac{1}{\det(\mathbf{R})}\cdot \det{ \begin{pmatrix} U_{01}-U_{02} & -R_1 & -R_4 \\ -U_{01}-U_{03}& R_1+R_3+R_5 & -R_3 \\ U_{03} & -R_3 & R_3+R_4+R_6 \end{pmatrix} }$ Dies kann nun weiter symbolisch oder mit Werten ausgerechnet werden.

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)