Determinante einer quadratischen Matrix

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Determinante einer Matrix

Eine quadratische Matrix $\mathbf{A}$ wird auf eindeutige Weise einer bestimmten Zahl zugeordnet, diese Zahl heißt Determinante der Matrix, oder in mathematischer Schreibweise:

$\det{\mathbf{A}}$

Die Determinante, ist dabei ein Maß für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems. Es gilt, wenn die Determinante ungleich null ist, also:

$\det{\mathbf{A}}\not=0$

Ist das System linear unabhängig und damit eindeutig lösbar. Umgekehrt gilt ebenso: Ist die Determinate gleich 0, gibt es unendlich viele verschiedene Lösungen und das System ist damit auch nicht linear unabhängig.

Berechnung der Determinante

In diesem Abschnitt sollen zwei Lösungsverfahren, zur Bestimmung der Determinante einer quadratischen Matrix besprochen werden.

a) Das erste Lösungsverfahren, das Enwickeln der Matrix nach einer beliebigen Zeile oder Spalte ist ein Verfahren das allgemein gilt und immer verwendet werden kann.

Entwickelt man nach beliebiger Spalte (s-te Spalte), ergibt sich folgende Form:

$\det{\mathbf{A}}=\sum_{s=1}^m (-1)^{(r+s)}\cdot a_{r,s}\cdot\det{\mathbf{A_{r,s}}}$

oder man entwickelt nach einer beliebigen Zeile (r-te Zeile). Daraus folgt:

$\det{\mathbf{A}}=\sum_{r=1}^m (-1)^{(r+s)}\cdot a_{r,s}\cdot\det{\mathbf{A_{r,s}}}$

b) Das zweite Verfahren die Regel von Sarrus, gilt nur bei 3x3-Matrizen oder kleiner. Es ist allerdings viel weniger aufwendig.

Regel von Sarrus am Beispiel einer 3x3-Matrix

Die Rechenvorschrift ist in der nebenstehenden Abbildung eingezeichnet. Dabei muss bei der 3x3 Matrix zunächst die ersten beiden Spalten angehängt werden, dieser Schritt fällt bei einer 2x2 Matrix weg. Dann muss man nach dem "Maschendrahtzaun-Prinzip" erst alle diagonal von rechts oben nach links unten verlaufenden Zahlenreihen multiplizieren und jede multiplizierte Diagonale aufaddieren, anschließend werden die in entgegengesetzer Richtung diagonal verlaufenden Zahlenreihen multipliziert und subtrahiert.

Beispiel: Regel von Sarrus am Zahlenbeispiel Gegeben ist folgende Matrix: $\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 // 6 & 5 & 0 // 2 &-7 & 3 \end{pmatrix}$ Nach dem Schema aus der Abbildung erweitert man nun zunächst um die ersten beiden Spalten: $\left( \begin{matrix} 0 & 3 & 1\\ 6 & 5 & 0 \\ 2 &-7 & 3 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 0 & 3 \\ 6 & 5 \\ 2 &-7\end{matrix} \right) \right.$ Nun muss man nur noch Diagonal die WErte multiplizieren und aufaddieren bzw. subtrahieren: Es ergibt sich also: $\det{\mathbf{A}}=0\cdot 5\cdot 3+3\cdot 0\cdot 2+1\cdot 6\cdot(-7)-1\cdot 2\cdot 5 -0 \cdot 0\cdot(-7)-3\cdot 6\cdot 3=0+0-42-10-0-54=-106$

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)