Selbsttest:Kugelkoordinaten

Verwenden sie für diese Aufgabe zur Darstellung der Einheitsvektoren: er, ephi, etheta; zur Darstellung der Kugelkoordinaten r, phi, theta und zur Darstellung der Formelzeichen *, /, +, -.

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1.

Gegeben ist eine Anordnung, in der eine Punktladung im Zentrum eines kartesischen Koordinatensystems liegt:

Gesucht ist das elektrische Feld dieser Punktladung in Kugelkoordinaten:

$\frac{Q}{4\pi\epsilon}\cdot($ $)^{-1}$

2. Das elektrische Feld hat den folgenden Verlauf in kartesischen Koordinaten:$\vec{\mathbf{E}}(x,y,z)=\frac{E_0}{m}(x\vec{\mathbf{e}}_x+y\vec{\mathbf{e}}_y+z\vec{\mathbf{e}}_z)$ Wie lautet der Verlaufe in Kugelkoordinaten?

	$\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi)=\frac{E_0}{m}(r\vec{\mathbf{e}}_r+\sin\vartheta\vec{\mathbf{e}}_{\varphi})$
	$\vec{\mathbf{E}}(r)=\frac{E_0}{m}(r\vec{\mathbf{e}}_r)$
	$\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=\frac{E_0}{m}(r\vec{\mathbf{e}}_r+\vartheta\vec{\mathbf{e}}_{\vartheta}+\varphi\vec{\mathbf{e}}_{\varphi})$
→	In der Abbildung, wird deutlich, dass um den Vektor $\vec{\mathbf{r}}$ darzustellen, lediglich die Variable r in $\vec{\mathbf{e}}_r$ variert werden muss.

3. Das elektrische Feld hat den folgenden Verlauf in kartesischen Koordinaten:$\vec{\mathbf{E}}(x,y)=E_0(\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\vec{\mathbf{e}}_x+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\vec{\mathbf{e}}_y)$ Wie lautet der Verlaufe in Kugelkoordinaten?

Hinweis: Für geignete Umformungen vgl. Formelsammlung Koordinatensysteme

	<math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=E_0\vec{\mathbf{e}}_{r}
	<math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=E_0\vec{\mathbf{e}}_{\vartheta}
	<math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=E_0\vec{\mathbf{e}}_{\varphi}
→	Hier soll zunächst die Umformung der Koordinaten vom kartesischen in das Kugelkoordinatensystem erfolgen. vgl: Formelsammlung Koordinatensysteme. Daraus ergibt sich: $\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=E_0(\frac{-r\sin\varphi}{r}\vec{\mathbf{e}}_x+\frac{r\cos\varphi}{r}\vec{\mathbf{e}}_y)$ vergleicht man dan die Umrechnungen der Einheitsvektoren folgt: $\vec{\mathbf{e}}_\varphi=\sin\varphi-\vec{\mathbf{e}}_x+\cos\varphi\vec{\mathbf{e}}_y$

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