Determinante einer quadratischen Matrix

Determinante einer Matrix

Regel von Sarrus am Beispiel einer 3x3-Matrix

Eine quadratische Matrix $\mathbf{A}$ wird auf eindeutige Weise einer bestimmten Zahl zugeordnet, diese Zahl heißt Determinante der Matrix, oder in mathematischer Schreibweise:

$\det{\mathbf{A}}$

Die Determinante, ist dabei ein Maß für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems. Es gilt, wenn die Determinante ungleich null ist, also:

$\det{\mathbf{A}}\not=0$

ist das System linear unabhängig und damit eindeutig lösbar. Umgekehrt gilt ebenso: Ist die Determinate gleich 0, gibt es unendlich viele verschiedene Lösungen und das System damit auch nicht linear unabhängig ist.

Berechnung der Determinante

In diesem Abschnitt sollen zwei Lösungsverfahren, zur Bestimmung der Determinante einer quadratischen Matrix besprochen werden.

a) Das erste Lösungsverfahren, das Enwickeln der Matrix nach einer beliebigen Zeile oder Spalte ist ein Verfahren das allgemein gilt und immer verwendet werden kann.

Entwickelt man nach beliebiger Spalte (s-te Spalte), ergibt sich folgende Form:

$\det{\mathbf{A}}=\sum_{s=1}^m (-1)^(r+s)\cdot a_{r,s}\cdot\det{\mathbf{A_{r,s}}}$

oder man entwickelt nach einer beliebigen Zeile (r-te Zeile). Daraus folgt:

$\det{\mathbf{A}}=\sum_{r=1}^m (-1)^(r+s)\cdot a_{r,s}\cdot\det{\mathbf{A_{r,s}}}$

b) Das zweite Verfahren die Regel von Sarrus, gilt nur bei 3x3-Matrizen oder kleiner. Es ist allerdings viel weniger aufwendig.

Die Rechenvorschrift ist in der nebenstehenden Abbildung eingezeichnet. Dabei muss bei der 3x3 Matrix zunächst noch die ersten beiden Spalten angehängt werden, dieser Schritt fällt bei einer 2x2 Matrix weg . Dann muss man also nur nach dem "Maschendrahtzaun-Prinzip" erst alle diagonal von rechts oben nach links unten Verlaufenden Zahlenreihen multiplizieren und anschließend aufaddieren und anschließend diagonal in entgegengesetzer Richtung die Diagonalen multiplizieren und subtrahieren.

Beispiel: Regel von Sarrus am Zahlenbeispiel