Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme
Bevor wir die Zylinder- und Kugelkoordinaten behandeln, sollen einige allgemein gültige Zusammenhänge für krummlinige orthogonale Koordinatensysteme , , abgeleitet werden. Diese sind durch die im Allgemeinen bekannten Definitionsgleichungen:
Formel (1)
mit den kartesischen Koordinaten verknüpft.
Das in Abbildung 1 dargestellte Volumen wird durch die sechs beliebig geformten Koordinatenflächen begrenzt, auf denen jeweils eine der Koordinaten mit konstant ist. Die Einheitsvektoren , die ??? und ??? erfüllen, zeigen in Richtung der Tangenten, die an die durch den Raumpunkt des Ortsvektors verlaufenden Koordinaten gelegt werden. Die Richtung dieser Tangenten und damit auch die Richtung der Einheitsvektoren ist durch die Änderung des Ortsvektors nach der jeweiligen Koordinate gegeben (*). Normiert man diesen Ausdruck auf seinen Betrag , dann lässt sich folgende Darstellung für die Einheitsvektoren angeben:
Formel (2)
(*) Unter dem Ausdruck wird die partielle Ableitung, d. h. die Änderungsgeschwindigkeit des Ortsvektors nach bzw. bzw. verstanden, wobei die jeweils anderen beiden Koordinaten konstant gehalten werden. Betrachten wir als Beispiel den Fall , dann gilt:
Entsprechend Formel (2) hängt also die Richtung der Einheitsvektoren im allgemeinen Fall von den Koordinaten , d. h. von der Lage des Raumpunktes P ab. Die als metrische Faktoren bezeichneten Werte findet man mithilfe der Definitionsgleichungen Formel (1) aus:
beziehungsweise:
Formel (3)
Bildet man nun das totale Differential des Ortsvektors , das einer Änderung der Koordinatenwerte , , um , , entspricht, dann erhält man unter Einbeziehung der Formel (2) das folgende Ergebnis:
Formel (4)
Für den Betrag des vektoriellen Wegelementes gilt mit Gl. X (Verweis auf Vektoren) die Beziehung:
Formel (5) Das elementare Volumenelement erhält man durch Multiplikation der Seitenlängen gemäß Abbildung 2:
Formel (6)
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