Einführung in die Vektorrechnung

Gleiche und entgegengesetzt gleiche Vektoren

Eine ganze Reihe physikalischer Größen lässt sich bereits durch die Angabe eines Zahlenwertes und der dazugehörigen Einheit vollständig beschreiben. Solche Größen nennt man skalare Größen oder kurz Skalare, gängige Beispiele sind die Masse eines Körpers (zum Beispiel $m = 5\,\text{kg}$) oder die Temperatur in einem Punkt im Raum (zum Beispiel $\vartheta = 20\,^\circ\text{C}$ oder $\vartheta = -42\,^\circ\text{C}$). Andere physikalische Größen sind gerichtet, so dass zur vollständigen Beschreibung zusätzlich die Angabe einer Richtung erforderlich ist. In diesem Fall spricht man von vektoriellen Größen. Bekannte Beispiele hierfür sind die Geschwindigkeit und alle Arten von Kräften.

Zur Unterscheidung von skalaren und vektoriellen Größen werden letztere häufig mit einem Pfeil (zum Beispiel $\vec{\textbf{a}}$) gekennzeichnet. Physikalische Zusammenhänge mit vektoriellen Größen lassen sich dann durch Größengleichungen beschreiben, deren mathematische Behandlung nach den Regeln der Vektorrechnung erfolgt.

Zur graphischen Darstellung von Vektoren werden Pfeile verwendet, deren Richtung die Orientierung eines Vektors angibt und deren Länge dem Betrag entspricht. Der Betrag $|\vec{\textbf{a}}|$ eines Vektors $\vec{\textbf{a}} = \begin{bmatrix} a_x & a_y & a_z \end{bmatrix}^\text{T}$ (das $^\text{T}$ steht für Transposition und ermöglicht die Schreibweise des Spaltenvektors als Zeilenvektor) lässt sich wie folgt bestimmen:

$|\vec{\textbf{a}}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

Da die vorgestellte Schreibweise für den Betrag vergleichsweise aufwändig ist, schreibt man häufig einfach $a$ statt $|\vec{\textbf{a}}|$.

Beispiel: Kraftwirkung auf eine Punktladung im elektrischen Feld Befindet sich eine punktförmige Ladung mit der Ladungsmenge $Q$ in einem elektrischen Feld $\vec{\textbf{E}}$, so wirkt eine Kraft $\vec{\textbf{F}}$ auf diese Ladung. Ein elektrisches Feld bildet sich zum Beispiel zwischen zwei positiv und negativ geladenen Platten aus (siehe nachfolgende Abbildung). Die zugehörige vektorielle Größengleichung lautet wie folgt: $\vec{\textbf{F}} = Q \vec{\textbf{E}}$ Die Ladungsmenge $Q$ ist dabei eine skalare Größe und kann sowohl negativ als auch positiv sein, die Richtung der Kraftwirkung ergibt sich also ausschließlich durch das Vorzeichen von $Q$ und der Richtung des elektrischen Feldes. Ein negatives Vorzeichen von $Q$ führt zu einem Kraftvektor mit entgegengesetzer Richtung. Dies ist auch aus physikalischer Sicht plausibel, da eine negative Ladung von der positiven Kondensatorplatte angezogen und von der negativ geladenen Platte abgestoßen wird. Der vektorielle Charakter der Kraft wird weiterhin deutlich, wenn man den Kondensator gedanklich dreht und die Punktladung an ihrer Position belässt: Durch die Drehung des Kondensators ändert sich auch die Richtung des elektrischen Feldes, folglich muss auch die Kraft in eine andere Richtung wirken.