Allgemeine Formulierung linearer Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen
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Ax = b\,|\cdot A^{-1}\quad\Rightarrow\quad A^{-1}\cdot A x = A^{-1}\cdot b\quad\Rightarrow\quad x = A^{-1}\cdot b | Ax = b\,|\cdot A^{-1}\quad\Rightarrow\quad A^{-1}\cdot A x = A^{-1}\cdot b\quad\Rightarrow\quad x = A^{-1}\cdot b | ||
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− | Die gleiche Vorgehensweise lässt sich auch auf lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise | + | Die gleiche Vorgehensweise lässt sich auch auf lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise übertragen. In diesem Fall benötigt man die sogenannte '''Inverse''' <math>\mathbf{A}^{-1}</math> zur Matrix <math>\mathbf{A}</math>. |
Inverse. Determinante. Multiplikation. Idee: Einfache Rechenoperationen mit Matrizen. Anzahl der Lösungen (Über/Unterbestimmtheit). | Inverse. Determinante. Multiplikation. Idee: Einfache Rechenoperationen mit Matrizen. Anzahl der Lösungen (Über/Unterbestimmtheit). |
Version vom 28. November 2012, 22:41 Uhr
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Im Rahmen der Einführung zu linearen Gleichungssystemen wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:
Dabei werden die nachstehenden Bezeichnungen verwendet:
- : Koeffizientenmatrix
- : Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)
- : Konstantenvektor oder „rechte Seite“
Dabei handelt es sich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus linearen Gleichungen mit unbekannten Variablen vor:
In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:
Die Elemente (Einträge) der -Matrix werden also mit bezeichnet, wobei die Zeile und die Spalte des betrachteten Elements angibt (vgl. Abbildung).
Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von unbekannten Größen auch (mindestens) linear unabhängige Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei häufig um eine quadratische Matrix. In diesem Fall gilt und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch (-Matrix).
Lösung linearer Gleichungssysteme
Zur Lösung linearer Gleichungssysteme, also zur Bestimmung der Größen beziehungsweise des Vektors , existiert eine Vielzahl von Verfahren. Handelt es sich bei um eine quadratische Matrix, so kann beispielsweise die Cramersche Regel verwendet werden. Ausgangspunkt für die weiteren Betrachtungen ist zunächst eine Gleichung mit ausschließlich skalaren Größen , und :
Um in diesem Fall die Unbekannte zu bestimmen, genügt eine Multiplikation der Gleichung mit :
Die gleiche Vorgehensweise lässt sich auch auf lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise übertragen. In diesem Fall benötigt man die sogenannte Inverse zur Matrix .
Inverse. Determinante. Multiplikation. Idee: Einfache Rechenoperationen mit Matrizen. Anzahl der Lösungen (Über/Unterbestimmtheit).
To-Do:
- Bild zur Indizierung oben rechts einfügen
- Zusammenhang zur Multiplikation von Matrizen
- Hinweis zur Anzahl der Zeilen und Spalten
- Übergang zu quadratischen Matrizen
- Lösung solcher Gleichungssysteme und entsprechende Bedingungen