Allgemeine Formulierung linearer Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen
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Um in diesem Fall die Unbekannte <math>x</math> zu bestimmen, genügt eine Multiplikation der Gleichung mit <math>1/A=A^{-1}</math>: | Um in diesem Fall die Unbekannte <math>x</math> zu bestimmen, genügt eine Multiplikation der Gleichung mit <math>1/A=A^{-1}</math>: | ||
:<math> | :<math> | ||
− | Ax = b\,|\cdot A^{-1}\quad\Rightarrow\quad A^{-1}\cdot A x = A^{-1}\cdot b | + | Ax = b\,|\cdot A^{-1}\quad\Rightarrow\quad A^{-1}\cdot A x = A^{-1}\cdot b\quad\Rightarrow\quad x = A^{-1}\cdot b |
</math> | </math> | ||
− | Inverse. Determinante. Multiplikation. Idee: Einfache Rechenoperationen mit Matrizen. | + | Inverse. Determinante. Multiplikation. Idee: Einfache Rechenoperationen mit Matrizen. Anzahl der Lösungen. |
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Version vom 28. November 2012, 22:32 Uhr
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Im Rahmen der Einführung zu linearen Gleichungssystemen wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:
Dabei werden die nachstehenden Bezeichnungen verwendet:
: Koeffizientenmatrix
: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)
: Konstantenvektor oder „rechte Seite“
Dabei handelt es sich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus linearen Gleichungen mit
unbekannten Variablen
vor:
In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:
Die Elemente (Einträge) der -Matrix
werden also mit
bezeichnet, wobei
die Zeile und
die Spalte des betrachteten Elements angibt (vgl. Abbildung).
Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von unbekannten Größen auch (mindestens)
linear unabhängige Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei
häufig um eine quadratische Matrix. In diesem Fall gilt
und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch (
-Matrix).
Lösung linearer Gleichungssysteme
Zur Lösung linearer Gleichungssysteme, also zur Bestimmung der Größen beziehungsweise des Vektors
, existiert eine Vielzahl von Verfahren. Handelt es sich bei
um eine quadratische Matrix, so kann beispielsweise die Cramersche Regel verwendet werden. Ausgangspunkt für die weiteren Betrachtungen ist zunächst eine Gleichung mit ausschließlich skalaren Größen
,
und
:
Um in diesem Fall die Unbekannte zu bestimmen, genügt eine Multiplikation der Gleichung mit
:
Inverse. Determinante. Multiplikation. Idee: Einfache Rechenoperationen mit Matrizen. Anzahl der Lösungen.
To-Do:
- Bild zur Indizierung oben rechts einfügen
- Zusammenhang zur Multiplikation von Matrizen
- Hinweis zur Anzahl der Zeilen und Spalten
- Übergang zu quadratischen Matrizen
- Lösung solcher Gleichungssysteme und entsprechende Bedingungen