Test:Getb:Die Bauelemente Kondensator und Spule: Unterschied zwischen den Versionen

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Zu Beginn sei der Kondensator nicht geladen (<math> u_C = 0 </math>). Der Schalter wird zum Zeitpunkt <math> t = t_0 </math> von Pos. 1 auf Pos. 2 umgelegt. Durch den Kondensator fließt jetzt der konstante Strom <math> i_C = I_0 </math>. Eingesetzt in die Zweipolgleichung folgt:
 
Zu Beginn sei der Kondensator nicht geladen (<math> u_C = 0 </math>). Der Schalter wird zum Zeitpunkt <math> t = t_0 </math> von Pos. 1 auf Pos. 2 umgelegt. Durch den Kondensator fließt jetzt der konstante Strom <math> i_C = I_0 </math>. Eingesetzt in die Zweipolgleichung folgt:
 
:<math> I_0 = C \cdot \dot u_C \Leftrightarrow \dot u_C = \frac{I_0}{C} </math>
 
:<math> I_0 = C \cdot \dot u_C \Leftrightarrow \dot u_C = \frac{I_0}{C} </math>
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Ab dem Zeitpunkt <math> t_0 </math> steigt die Kondensatorspannung <math> u_C </math> also konstant mit der Spannung <math> \frac{I_0}{C} </math> an.
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Ab dem Zeitpunkt <math> t_0 </math> steigt die Kondensatorspannung <math> u_C </math> also konstant mit der Spannung <math> \textstyle \frac{I_0}{C} </math> an.
 
| Konstante Spannung: <br />
 
| Konstante Spannung: <br />
 
Zu Beginn sei keine innere Energie in der Spule gespeichert (<math> i_L = 0</math>). Zum Zeitpunkt <math> t= t_0 </math> wird der Schalter geschlossen. An der Spule liegt dann die konstante Spannung <math> u_L = U_0 </math> an. Eingesetzt in die Zweipolgleichung folgt:
 
Zu Beginn sei keine innere Energie in der Spule gespeichert (<math> i_L = 0</math>). Zum Zeitpunkt <math> t= t_0 </math> wird der Schalter geschlossen. An der Spule liegt dann die konstante Spannung <math> u_L = U_0 </math> an. Eingesetzt in die Zweipolgleichung folgt:
 
:<math> U_0 = L \cdot \dot i_L \Leftrightarrow \dot i_L = \frac{U_0}{L} </math>
 
:<math> U_0 = L \cdot \dot i_L \Leftrightarrow \dot i_L = \frac{U_0}{L} </math>
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Ab dem Zeitpunkt <math> t_0 </math> steigt der Spulenstrom <math> i_L </math> also konstant mit der Steigung <math> \frac{U_0}{L} </math> an.
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Ab dem Zeitpunkt <math> t_0 </math> steigt der Spulenstrom <math> i_L </math> also konstant mit der Steigung <math> \textstyle \frac{U_0}{L} </math> an.
 
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|Anlegen einer konstanten Spannung <math> U_0 \neq u_C </math> ("<span style="color:red">verboten</span>"): <br />
 
|Anlegen einer konstanten Spannung <math> U_0 \neq u_C </math> ("<span style="color:red">verboten</span>"): <br />

Version vom 7. Juni 2016, 17:24 Uhr

In der Elektrotechnik wird zwischen drei fundamentalen passiven Bauelementen unterschieden: Widerstand, Kondensator und Spule. Da der Widerstand keine Energie speichert, ist er sehr einfach zu verstehen. Die Eigenschaften von Kondensator und Spule sind etwas komplexer. Durch einige Analogien zwischen beiden Elementen kann das Verständnis allerdings erleichtert werden.

Eigenschaften des Kondensators und der Spule

Bauteilbezeichnung: Kondensator Spule
Eigenschaft Kapazität Induktivität
Einheit Farad ( \textstyle F = \frac{As}{V} ) Henry ( \textstyle H = \frac{Vs}{A} )
Bauteilgleichung i_C = C \cdot \dot u_C u_L = L \cdot \dot i_L
Innere ("gespeicherte") Energie \textstyle w_C(t) = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_{C}^2(t) \textstyle w_L(t) = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i_{L}^2(t)
Leistung \textstyle \dot w_C(t) = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \dot u_{C}^2(t) \textstyle \dot w_L(t) = \frac{1}{2} \cdot L \cdot \dot i_{L}^2(t)
Art der Energiespeicherung Ladung (proportional zur Spannung) Magnetisches Feld (proportional zum Strom)
Impedanz / Komplexer Widerstand \textstyle \underline{Z_C} = \frac{1}{j \cdot \omega \cdot C} \textstyle \underline{Z_L} = j \cdot \omega \cdot L
Frequenzverhalten Impedanz Hohe Impedanz bei niedrigen Frequenzen
Niedrige Impedanz bei hohen Frequenzen 		Niedrige Impedanz bei niedrigen Frequenzen
Hohe Impedanzen bei hohen Frequenzen

Verhalten der beiden Bauteile

Um das Verständnis des Kondensators (kapazitives Verhalten) und der Spule (induktives Verhalten) zu schulen, werden im Folgenden einige Fälle mit konstanten Strömen und Spannungen betrachtet. Insbesondere werden auch „verbotene“ Fälle betrachtet, die mathematisch nicht möglich sind bzw. in der Praxis zu einer Beschädigung der Schaltung führen würden.

Kondensator Spule
Konstanter Strom:

Zu Beginn sei der Kondensator nicht geladen ( u_C = 0 ). Der Schalter wird zum Zeitpunkt t = t_0 von Pos. 1 auf Pos. 2 umgelegt. Durch den Kondensator fließt jetzt der konstante Strom i_C = I_0 . Eingesetzt in die Zweipolgleichung folgt:

I_0 = C \cdot \dot u_C \Leftrightarrow \dot u_C = \frac{I_0}{C}

Ab dem Zeitpunkt t_0 steigt die Kondensatorspannung u_C also konstant mit der Spannung \textstyle \frac{I_0}{C} an.

Konstante Spannung:

Zu Beginn sei keine innere Energie in der Spule gespeichert ( i_L = 0). Zum Zeitpunkt t= t_0 wird der Schalter geschlossen. An der Spule liegt dann die konstante Spannung u_L = U_0 an. Eingesetzt in die Zweipolgleichung folgt:

U_0 = L \cdot \dot i_L \Leftrightarrow \dot i_L = \frac{U_0}{L}

Ab dem Zeitpunkt t_0 steigt der Spulenstrom i_L also konstant mit der Steigung \textstyle \frac{U_0}{L} an.

Anlegen einer konstanten Spannung U_0 \neq u_C ("verboten"):

Sollte der Kondensator mit einer Spannung u_c \neq U_0 geladen sein, darf die konstante Spannung U_0 nicht an den Kondensator angelegt werden. Zum Zeitpunkt t_0, in dem der Schalter S geschlossen wird, ändert sich die Kondensatorspannung sprunghaft auf U_0. Das ist mathematisch gesehen ein Problem, da für die Sprungfunktion keine Ableitung existiert – im Zeitpunkt t_0 geht die Ableitung der Spannung nach der Zeit, und damit auch der Strom i_C, gegen unendlich. Aber auch physikalisch tritt ein Problem auf, da sich in diesem Moment die im Kondensator gespeicherte Energie \textstyle w_C = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_{C}^2 sprunghaft ändern würde. Der Verlauf einer gespeicherten Energie ist aber immer stetig! In der Praxis ist es nicht möglich, einen idealen sprunghaften Anstieg der Spannung zu erreichen. Trotzdem würde sich die Kondensatorspannung u_C in einer sehr kurzen Zeit sehr stark ändern. Anhand der Zweipolgleichung ist dann ersichtlich, dass der Strom i_C sehr groß wird, und die Bauteile zerstören kann. Aus diesen Gründen ist der Fall "verboten"!

Konstanter Stromfluss I_0 \neq i_L ("verboten"):

Sollte durch die Spule ein Strom i_L \neq I_0 fließen, darf der Schalter S nicht geöffnet werden. Zum Zeitpunkt des Umschaltens t_0 ändert sich der Spulenstrom sprunghaft auf I_0. Das ist mathematisch ein Problem, da für die Sprungfunktion keine Ableitung existiert – im Zeitpunkt t_0 geht die zeitliche Ableitung des Stroms, und damit auch die Spannung u_L, gegen unendlich. Aber auch physikalisch tritt ein Problem auf, da sich in diesem Moment die in der Spule gespeicherte Energie \textstyle w_L = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i_{L}^2 sprunghaft ändern würde. Der Verlauf der gespeicherten Energie ist aber immer stetig! In der Praxis ist ein idealer Sprung des Stroms nicht zu erreichen, da dazu eine unendlich hohe Spannung – und somit eine unendlich hohe Leistung – erforderlich wäre. Trotzdem würde sich der Spulenstrom i_L in einer sehr kurzen Zeit sehr stark ändern. Anhand der Zweipolgleichung ist dann ersichtlich, dass die Spannung u_L sehr groß wird, und die Bauteile zerstören kann. Aus diesen Gründen ist der Fall "verboten"!

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