Test:Getb:Die Bauelemente Kondensator und Spule

In der Elektrotechnik wird zwischen drei fundamentalen passiven Bauelementen unterschieden: Widerstand, Kondensator und Spule. Da der Widerstand keine Energie speichert, ist er sehr einfach zu verstehen. Die Eigenschaften von Kondensator und Spule sind etwas komplexer. Durch einige Analogien zwischen beiden Elementen kann das Verständnis allerdings erleichtert werden.

Eigenschaften des Kondensators und der Spule

Bauteilbezeichnung:	Kondensator	Spule
Eigenschaft	Kapazität	Induktivität
Einheit	Farad ($\textstyle F = \frac{As}{V}$)	Henry ($\textstyle H = \frac{Vs}{A}$)
Bauteilgleichung	$i_C = C \cdot \dot u_C$	$u_L = L \cdot \dot i_L$
Innere ("gespeicherte") Energie	$\textstyle w_C(t) = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_{C}^2(t)$	$\textstyle w_L(t) = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i_{L}^2(t)$
Leistung	$\textstyle \dot w_C(t) = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \dot u_{C}^2(t)$	$\textstyle \dot w_L(t) = \frac{1}{2} \cdot L \cdot \dot i_{L}^2(t)$
Art der Energiespeicherung	Ladung (proportional zur Spannung)	Magnetisches Feld (proportional zum Strom)
Impedanz / Komplexer Widerstand	$\textstyle \underline{Z_C} = \frac{1}{j \cdot \omega \cdot C}$	$\textstyle \underline{Z_L} = j \cdot \omega \cdot L$
Frequenzverhalten Impedanz	Hohe Impedanz bei niedrigen Frequenzen Niedrige Impedanz bei hohen Frequenzen	Niedrige Impedanz bei niedrigen Frequenzen Hohe Impedanzen bei hohen Frequenzen

Verhalten der beiden Bauteile

Um das Verständnis des Kondensators (kapazitives Verhalten) und der Spule (induktives Verhalten) zu schulen, werden im Folgenden einige Fälle mit konstanten Strömen und Spannungen betrachtet. Insbesondere werden auch „verbotene“ Fälle betrachtet, die mathematisch nicht möglich sind bzw. in der Praxis zu einer Beschädigung der Schaltung führen würden.

Kondensator	Spule
Konstanter Strom:	Konstante Spannung:
Kondensator an einer Stromquelle Zu Beginn sei der Kondensator nicht geladen ($u_C = 0$). Der Schalter wird zum Zeitpunkt $t = t_0$ von Pos. 1 auf Pos. 2 umgelegt. Durch den Kondensator fließt jetzt der konstante Strom $i_C = I_0$. Eingesetzt in die Zweipolgleichung folgt: $I_0 = C \cdot \dot u_C \Leftrightarrow \dot u_C = \frac{I_0}{C}$ Ab dem Zeitpunkt $t_0$ steigt die Kondensatorspannung $u_C$ also konstant mit der Spannung $\textstyle \frac{I_0}{C}$ an. Verlauf der Kondensatorspannung	Spule an einer Spannungsquelle Zu Beginn sei keine innere Energie in der Spule gespeichert ($i_L = 0$). Zum Zeitpunkt $t= t_0$ wird der Schalter geschlossen. An der Spule liegt dann die konstante Spannung $u_L = U_0$ an. Eingesetzt in die Zweipolgleichung folgt: $U_0 = L \cdot \dot i_L \Leftrightarrow \dot i_L = \frac{U_0}{L}$ Ab dem Zeitpunkt $t_0$ steigt der Spulenstrom $i_L$ also konstant mit der Steigung $\textstyle \frac{U_0}{L}$ an. Verlauf des Spulenstroms
Anlegen einer konstanten Spannung $U_0 \neq u_C$ ("verboten"):	Konstanter Stromfluss $I_0 \neq i_L$ ("verboten"):
Kondensator an einer Spannungsquelle Sollte der Kondensator mit einer Spannung $u_c \neq U_0$ geladen sein, darf die konstante Spannung $U_0$ nicht an den Kondensator angelegt werden. Zum Zeitpunkt $t_0$, in dem der Schalter S geschlossen wird, ändert sich die Kondensatorspannung sprunghaft auf $U_0$. Das ist mathematisch gesehen ein Problem, da für die Sprungfunktion keine Ableitung existiert – im Zeitpunkt $t_0$ geht die Ableitung der Spannung nach der Zeit, und damit auch der Strom $i_C$, gegen unendlich. Aber auch physikalisch tritt ein Problem auf, da sich in diesem Moment die im Kondensator gespeicherte Energie $\textstyle w_C = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_{C}^2$ sprunghaft ändern würde. Der Verlauf einer gespeicherten Energie ist aber immer stetig! In der Praxis ist es nicht möglich, einen idealen sprunghaften Anstieg der Spannung zu erreichen. Trotzdem würde sich die Kondensatorspannung $u_C$ in einer sehr kurzen Zeit sehr stark ändern. Anhand der Zweipolgleichung ist dann ersichtlich, dass der Strom $i_C$ sehr groß wird und die Bauteile zerstören kann. Aus diesen Gründen ist der Fall "verboten"! Theoretischer Spannungs- und Stromverlauf	Spule an einer Stromquelle Sollte durch die Spule ein Strom $i_L \neq I_0$ fließen, darf der Schalter S nicht geöffnet werden. Zum Zeitpunkt des Umschaltens $t_0$ ändert sich der Spulenstrom sprunghaft auf $I_0$. Das ist mathematisch ein Problem, da für die Sprungfunktion keine Ableitung existiert – im Zeitpunkt $t_0$ geht die zeitliche Ableitung des Stroms, und damit auch die Spannung $u_L$, gegen unendlich. Aber auch physikalisch tritt ein Problem auf, da sich in diesem Moment die in der Spule gespeicherte Energie $\textstyle w_L = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i_{L}^2$ sprunghaft ändern würde. Der Verlauf der gespeicherten Energie ist aber immer stetig! In der Praxis ist ein idealer Sprung des Stroms nicht zu erreichen, da dazu eine unendlich hohe Spannung – und somit eine unendlich hohe Leistung – erforderlich wäre. Trotzdem würde sich der Spulenstrom $i_L$ in einer sehr kurzen Zeit sehr stark ändern. Anhand der Zweipolgleichung ist dann ersichtlich, dass die Spannung $u_L$ sehr groß wird und die Bauteile zerstören kann. Aus diesen Gründen ist der Fall "verboten"! Theoretischer Spannungs- und Stromverlauf
Spezialfall $U_0 = 0$: Abruptes Kurzschließen ("verboten")	Spezialfall $I_0 = 0$: Abruptes Abschalten ("verboten")
Kurzschluss des Kondensators Das Schließen des Schalters führt zu einem Kurzschluss am Kondensator. Wenn der Kondensator vorher geladen war, also $u_C \neq 0$ galt, wird die Spannung durch den Kurzschluss sprunghaft auf 0 abfallen. Die sprunghafte Änderung der Kondensatorspannung ist unzulässig, da dadurch ein sehr hoher Strom fließen würde. Ein geladener Kondensator darf also nicht kurzgeschlossen werden. Genaugenommen ist dies ein Spezialfall von "Anlegen einer konstanten Spannung $U_0 \neq u_C$" mit $U_0=0$. Dortige Erläuterungen gelten also auch hier.	Unterbrechung des Spulenstroms Das Öffnen des Schalters unterbricht den Stromkreis. Wenn in der Spule vorher eine innere Energie gespeichert war, also $i_L \neq 0$ galt, wird durch die Unterbrechung der Strom sprunghaft auf 0 gesetzt. Die sprunghafte Änderung des Spulenstroms ist unzulässig, da dadurch eine betragsmäßig sehr hohe Spannung $u_L$ an der Spule induziert wird, die eine potenzielle Zerstörung der Bauteile zur Folge hat. Bei einer Spule, in der Energie gespeichert ist, darf der Stromkreis nicht unterbrochen werden. Anmerkung: Mit der Schaltung aus dem Fall „konstante Spannung“ ist es problemlos möglich, Energie in der Spule zu speichern. Ein kontrolliertes Absenken des Stroms ist in der Schaltung aber nicht vorgesehen, denn der Schalter darf nach der Betätigung nicht wieder geöffnet werden.

Durch Gegenüberstellen der Fälle wird deutlich, dass die Größen Spannung und Strom an den Bauteilen Kondensator (kapazitives Verhalten) und Spule (induktives Verhalten) genau entgegengesetzte Rollen einnehmen.

An einem Kondensator darf und kann sich die Spannung nicht sprunghaft ändern, an einer Spule darf und kann sich der Strom nicht sprunghaft ändern.