Selbsttest:Infinitesimale Weg-, Flächen- und Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen

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{Welche infinitesimalen Elemente können eine Richtung besitzen?}
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||Sowohl Weg-, als auch Flächenelemente können eine Richtung besitzen. Volumenelemente haben jedoch nie eine Richtung.
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||Sowohl Weg-, als auch Flächenelemente können eine Richtung besitzen. Volumenelementen hingegen lassen sich keine Richtungen zuordnen.
  
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{Geben Sie zu dem Flächenelement <math>\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math> die Richtung der Flächennormalen an.
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{'''Geben Sie zu dem Flächenelement <math>\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math> die Richtung der Flächennormalen an.'''
 
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||Das Flächenelement beschreibt ein Mantelstück eines Zylinders, deswegen ist die Flächennormale in Richtung des Radius <math>\rho</math>
 
||Das Flächenelement beschreibt ein Mantelstück eines Zylinders, deswegen ist die Flächennormale in Richtung des Radius <math>\rho</math>
  
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{Geben Sie zu dem Flächenelement <math>\mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> die Richtung der Flächennormalen an.}
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{'''Geben Sie zu dem Flächenelement <math>\mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> die Richtung der Flächennormalen an.'''}
 
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||Hier beschreibt das Flächenelement ein Sück der x-y-Ebene. Die Flächennormale kann also in positiver und in negativer z-Richtung angenommen werden.
 
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{Geben Sie zu dem Flächenelement <math>\mathrm{d}A=r^2\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}\varphi</math> die Richtung der Flächennormalen an.
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{'''Geben Sie zu dem Flächenelement <math>\mathrm{d}A=r^2\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}\varphi</math> die Richtung der Flächennormalen an.'''
 
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||Das Flächenelement beschreibt ein Stück der Kugeloberfläche. Deshalb ist die Flächennormale in Richtung des Radius r gerichtet.
 
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{Geben Sie zu dem Flächenelement <math>\mathrm{d}A=\mathrm{d}\rho\mathrm{d}z</math> die Richtung der Flächennormalen an.}
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{'''Geben Sie zu dem Flächenelement <math>\mathrm{d}A=\mathrm{d}\rho\mathrm{d}z</math> die Richtung der Flächennormalen an.'''}
 
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||Hier beschreibt das Flächenelement ein Stück des Längsschnitts eines Zylinders. Die Flächennormale ist also in Richtung des Winkels <math>\varphi</math> gerichtet.
 
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{'''Lückentext'''
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'''Fügen Sie folgende Wörter ein und achten Sie dabei auf Groß- und Kleinschreibung:'''
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''Differential, Mehrfachintegrale, infinitesimales, Tangente, Linienladungsdichte ''
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Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der Differential- und Integralrechnung. Sie werden benötigt, um vektorielle { Mehrfachintegrale } zu berechnen.
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Dabei beschreibt <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> ein { infinitesimales } gerichtetes Teilstück einer Kontur, also ein Wegelement. Der Ausdruck <math>\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}</math> wird { Differential } genannt und entsprechend spricht man auch von einer differentiellen Wegänderung. Die zugehörige Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten { Tangente }.
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Am häufigsten werden geradlinige oder kreisförmige Konturen (bzw. Teile davon, d. h. Kreisbögen) verwendet. Ist beispielsweise eine auf der x-Achse gelegene und konstante { Linienladungsdichte } (=Ladungsmenge/Strecke) <math>\lambda</math> gegeben, so erhält man die Gesamtladung Q durch Integration über diese Strecke.
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Aktuelle Version vom 14. Januar 2015, 21:06 Uhr

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1. Welche infinitesimalen Elemente können eine Richtung besitzen?

Wegelemente
Flächenelemente
Volumenelemente
→Sowohl Weg-, als auch Flächenelemente können eine Richtung besitzen. Volumenelementen hingegen lassen sich keine Richtungen zuordnen.

2. Geben Sie zu dem Flächenelement \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z die Richtung der Flächennormalen an.

Volumenelement Zylinder.svg
\vec{\mathbf{e}}_{\rho}
\vec{\mathbf{e}}_{x}
\vec{\mathbf{e}}_{z}
→Das Flächenelement beschreibt ein Mantelstück eines Zylinders, deswegen ist die Flächennormale in Richtung des Radius \rho

3. Geben Sie zu dem Flächenelement \mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y die Richtung der Flächennormalen an.

\vec{\mathbf{e}}_{z}
\vec{\mathbf{e}}_{x}
-\vec{\mathbf{e}}_{z}
→Hier beschreibt das Flächenelement ein Sück der x-y-Ebene. Die Flächennormale kann also in positiver und in negativer z-Richtung angenommen werden.

4. Geben Sie zu dem Flächenelement \mathrm{d}A=r^2\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}\varphi die Richtung der Flächennormalen an.

Volumenelement Kugel.svg
\vec{\mathbf{e}}_{r}
\vec{\mathbf{e}}_{\varphi}
\vec{\mathbf{e}}_{z}
→Das Flächenelement beschreibt ein Stück der Kugeloberfläche. Deshalb ist die Flächennormale in Richtung des Radius r gerichtet.

5. Geben Sie zu dem Flächenelement \mathrm{d}A=\mathrm{d}\rho\mathrm{d}z die Richtung der Flächennormalen an.

\vec{\mathbf{e}}_{\rho}
\vec{\mathbf{e}}_{\varphi}
\vec{\mathbf{e}}_{z}
→Hier beschreibt das Flächenelement ein Stück des Längsschnitts eines Zylinders. Die Flächennormale ist also in Richtung des Winkels \varphi gerichtet.

6. Lückentext

Fügen Sie folgende Wörter ein und achten Sie dabei auf Groß- und Kleinschreibung:

Differential, Mehrfachintegrale, infinitesimales, Tangente, Linienladungsdichte

Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente spielen eine zentrale Rolle in der Differential- und Integralrechnung. Sie werden benötigt, um vektorielle zu berechnen.
Dabei beschreibt \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} ein gerichtetes Teilstück einer Kontur, also ein Wegelement. Der Ausdruck \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} wird genannt und entsprechend spricht man auch von einer differentiellen Wegänderung. Die zugehörige Richtung in einem bestimmten Punkt der Kontur entspricht dabei derjenigen einer in diesem Punkt angelegten .
Am häufigsten werden geradlinige oder kreisförmige Konturen (bzw. Teile davon, d. h. Kreisbögen) verwendet. Ist beispielsweise eine auf der x-Achse gelegene und konstante (=Ladungsmenge/Strecke) \lambda gegeben, so erhält man die Gesamtladung Q durch Integration über diese Strecke.

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