Selbsttest:Vektorprodukt: Unterschied zwischen den Versionen
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+ <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}} \upuparrows\vec{\mathbf{b}}</math> | + <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}} \upuparrows\vec{\mathbf{b}}</math> | ||
- <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}}\bot\vec{\mathbf{b}}</math> | - <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}}\bot\vec{\mathbf{b}}</math> | ||
− | ||Der Betrag des Vektorprodukts ergibt sich aus folgender Formel | + | ||Der Betrag des Vektorprodukts ergibt sich aus folgender Formel:<math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} =\vec{\mathbf{c}}\text{ mit}\left|\vec{\mathbf{c}}\right| = ab\sin\alpha</math> Da der Sinus des eingeschlossenen Winkels betrachtet wird und er hier 90° ist, ergibt sich der maximale Betrag also |ab|. |
− | :<math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} =\vec{\mathbf{c}}\text{ mit}\left|\vec{\mathbf{c}}\right| = ab\sin\alpha</math> | ||
− | Da der Sinus des eingeschlossenen Winkels betrachtet wird und er hier 90° ist, ergibt sich der maximale Betrag also |ab|. | ||
- <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= \vec{\mathbf{e}}_cab \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}}\uparrow\downarrow\vec{\mathbf{b}}</math> | - <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= \vec{\mathbf{e}}_cab \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}}\uparrow\downarrow\vec{\mathbf{b}}</math> | ||
− | || | + | ||Der Betrag des Vektorprodukts ergibt sich aus folgender Formel:<math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}=\vec{\mathbf{c}}\text{ mit}\left|\vec{\mathbf{c}}\right|= ab\sin\alpha</math>Hier muss also der Sinus von 180° betrachtet werden und da dieser Null ist, folgt auch für das Ergebnis 0. |
{'''Bitte markieren Sie die korrekten Umformungen, dabei seien x,y,z als Koordinatenachsen zu verstehen, a und b seien beliebig:''' } | {'''Bitte markieren Sie die korrekten Umformungen, dabei seien x,y,z als Koordinatenachsen zu verstehen, a und b seien beliebig:''' } | ||
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{'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | {'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}=</math>{ 2 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ | + | <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}=</math>{ 2 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ 2 }<math>\vec{\mathbf{e}}_y+</math>{ -1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_z</math> |
||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung: <math>\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math> oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung: <math>\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math> oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||
{'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | {'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math>{ | + | <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math>{ 1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ -2 }<math>\vec{\mathbf{e}}_y+</math>{ 3 }<math>\vec{\mathbf{e}}_z</math> |
||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:<math>\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math>oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:<math>\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math>oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||
{'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | {'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math>{ -1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ | + | <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math>{ -1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ 0.0 }<math>\vec{\mathbf{e}}_y+</math>{ 0.0 }<math>\vec{\mathbf{e}}_z</math> |
||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:<math>\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math>oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:<math>\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math>oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||
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+ Der Vektor <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> steht senkrecht auf der Fläche, die von den Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math> und <math>\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird. | + Der Vektor <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> steht senkrecht auf der Fläche, die von den Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math> und <math>\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird. | ||
- Der Betrag des vektoriellen Produkts ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird. | - Der Betrag des vektoriellen Produkts ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird. | ||
+ | ||Da die Formel des Vektorprodukts nicht nur das vektorielle Produkt, sondern auch den Sinus des eingeschlossenen Winkels enthält, ist diese Antwort falsch. Weitere Erklärung siehe [[Rechte Hand Regel 1]] | ||
+ Die Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math>, <math>\vec{\mathbf{b}}</math> und <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> bilden ein Rechtssystem, das heißt, sie sind angeordnet wie Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger der rechten Hand. | + Die Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math>, <math>\vec{\mathbf{b}}</math> und <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> bilden ein Rechtssystem, das heißt, sie sind angeordnet wie Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger der rechten Hand. | ||
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+-- <math>\vec{\mathbf{a}}</math> | +-- <math>\vec{\mathbf{a}}</math> | ||
--+ <math>\vec{\mathbf{c}}</math> | --+ <math>\vec{\mathbf{c}}</math> | ||
− | || Erklärung | + | || Bei der Rechten Hand Regel 1 wird ein Rechtsystem verwendet. Dies bedeutet, dass dem ersten Vektor a der Daumen zugeordnet wird, danach wird rechtsherum der nächst folgende Vektor b dem Zeigefinger zugeordnet. Der letzte Vektor steht senkrecht auf den beiden vorherigen. Die Richtung wird ermittelt, indem man Daumen und Zeigefinger in Richtung der Achsen von a und b hält und den Mittelfinger abspreizt. Dieser entspricht dann dem letzten Vektor c. Weitere Erklärung siehe [[Rechte Hand Regel 1]] |
</quiz> | </quiz> | ||
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+ | [[Kategorie:Selbsttest]] |