Selbsttest:Vektorprodukt

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1. Bitte markieren Sie die korrekten Umformungen:

	$\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}} \upuparrows\vec{\mathbf{b}}$
	$\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}}\bot\vec{\mathbf{b}}$
→	Der Betrag des Vektorprodukts ergibt sich aus folgender Formel:$\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} =\vec{\mathbf{c}}\text{ mit}\left|\vec{\mathbf{c}}\right| = ab\sin\alpha$ Da der Sinus des eingeschlossenen Winkels betrachtet wird und er hier 90° ist, ergibt sich der maximale Betrag also |ab|.
	$\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= \vec{\mathbf{e}}_cab \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}}\uparrow\downarrow\vec{\mathbf{b}}$
→	Der Betrag des Vektorprodukts ergibt sich aus folgender Formel:$\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}=\vec{\mathbf{c}}\text{ mit}\left|\vec{\mathbf{c}}\right|= ab\sin\alpha$Hier muss also der Sinus von 180° betrachtet werden und da dieser Null ist, folgt auch für das Ergebnis 0.

2. Bitte markieren Sie die korrekten Umformungen, dabei seien x,y,z als Koordinatenachsen zu verstehen, a und b seien beliebig:

	$\vec{\mathbf{b}} \times \vec{\mathbf{a}}=-(\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}})$
	$\vec{\mathbf{y}}\times\vec{\mathbf{x}}=-\vec{\mathbf{z}}$
	Das Vektorprodukt ist kommutativ.
→	Aus der ersten Antwort wird ersichtlich, dass das Vektorprodukt nicht kommutativ sein kann. Leicht lässt sich das durch die Rechte Hand Regel 1 zeigen: Wenn der Daumen der rechten Hand die x-Achse repräsentiert und der Zeigefinger die y-Achse, zeigt der abgespreizte Mittelfinger in die Richtung der z-Achse. Dreht man die Reihefolge um, also entspricht der Daumen der y-Achse und der Zeigefinger der x-Achse verläuft der dritte Vektor entgegen der z-Achse. Weitere Erklärung siehe Vektorprodukt

3. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}=$$\vec{\mathbf{e}}_x+$$\vec{\mathbf{e}}_y+$$\vec{\mathbf{e}}_z$

→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung: $\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3$ oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: $\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha$

4. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

$\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=$$\vec{\mathbf{e}}_x+$$\vec{\mathbf{e}}_y+$$\vec{\mathbf{e}}_z$

→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:$\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3$oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: $\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha$

5. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=$$\vec{\mathbf{e}}_x+$$\vec{\mathbf{e}}_y+$$\vec{\mathbf{e}}_z$

→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:$\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3$oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: $\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha$

6. Gegeben sind folgende Vektoren.

Bitte markieren Sie alle richtigen Aussagen mit Berücksichtigung der gegebenen Vektoren.

	Der Vektor $\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}$ steht senkrecht auf der Fläche, die von den Vektoren $\vec{\mathbf{a}}$ und $\vec{\mathbf{b}}$ aufgespannt wird.
	Der Betrag des vektoriellen Produkts ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von $\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}$ aufgespannt wird.
→	Da die Formel des Vektorprodukts nicht nur das vektorielle Produkt, sondern auch den Sinus des eingeschlossenen Winkels enthält, ist diese Antwort falsch. Weitere Erklärung siehe Rechte Hand Regel 1
	Die Vektoren $\vec{\mathbf{a}}$, $\vec{\mathbf{b}}$ und $\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}$ bilden ein Rechtssystem, das heißt, sie sind angeordnet wie Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger der rechten Hand.

7. Gegeben sei folgende Formel:

$\vec{\textbf{a}}\times\vec{\textbf{b}} =\vec{\textbf{c}}$

Ordnen sie den gegebenen Vektoren, die entsprechenden Finger zu, die bei der Drei-Finger-Regel der rechten Hand verwendet werden.

Daumen	Zeigefinger	Mittelfinger
			$\vec{\mathbf{b}}$
			$\vec{\mathbf{a}}$
			$\vec{\mathbf{c}}$
→	Bei der Rechten Hand Regel 1 wird ein Rechtsystem verwendet. Dies bedeutet, dass dem ersten Vektor a der Daumen zugeordnet wird, danach wird rechtsherum der nächst folgende Vektor b dem Zeigefinger zugeordnet. Der letzte Vektor steht senkrecht auf den beiden vorherigen. Die Richtung wird ermittelt, indem man Daumen und Zeigefinger in Richtung der Achsen von a und b hält und den Mittelfinger abspreizt. Dieser entspricht dann dem letzten Vektor c. Weitere Erklärung siehe Rechte Hand Regel 1

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