Selbsttest:Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | '''Verwenden Sie für diese Aufgabe zur Darstellung der Einheitsvektoren: er, ephi, etheta; zur Darstellung der Kugelkoordinaten r, phi, theta und zur Darstellung der Formelzeichen *, /, +, -.''' | ||
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<quiz> | <quiz> | ||
− | { | + | {Gegeben ist eine Anordnung, in der eine Punktladung im Zentrum eines kartesischen Koordinatensystems liegt. |
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+ | '''Geben Sie das elektrische Feld dieser Punktladung in Kugelkoordinaten an''': | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
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<math>\frac{Q}{4\pi\epsilon}\cdot(</math> { r*er } <math>)^{-1}</math> | <math>\frac{Q}{4\pi\epsilon}\cdot(</math> { r*er } <math>)^{-1}</math> | ||
− | {Das elektrische Feld hat | + | {Das elektrische Feld hat, in kartesischen Koordinaten, folgenden Verlauf: <math>\vec{\mathbf{E}}(x,y,z)=\frac{E_0}{m}(x\vec{\mathbf{e}}_x+y\vec{\mathbf{e}}_y+z\vec{\mathbf{e}}_z)</math> . |
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+ | '''Wie gestaltet sich der Verlauf in Kugelkoordinaten?'''} | ||
-<math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi)=\frac{E_0}{m}(r\vec{\mathbf{e}}_r+\sin\vartheta\vec{\mathbf{e}}_{\varphi})</math> | -<math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi)=\frac{E_0}{m}(r\vec{\mathbf{e}}_r+\sin\vartheta\vec{\mathbf{e}}_{\varphi})</math> | ||
+<math>\vec{\mathbf{E}}(r)=\frac{E_0}{m}(r\vec{\mathbf{e}}_r)</math> | +<math>\vec{\mathbf{E}}(r)=\frac{E_0}{m}(r\vec{\mathbf{e}}_r)</math> | ||
-<math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=\frac{E_0}{m}(r\vec{\mathbf{e}}_r+\vartheta\vec{\mathbf{e}}_{\vartheta}+\varphi\vec{\mathbf{e}}_{\varphi})</math> | -<math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=\frac{E_0}{m}(r\vec{\mathbf{e}}_r+\vartheta\vec{\mathbf{e}}_{\vartheta}+\varphi\vec{\mathbf{e}}_{\varphi})</math> | ||
− | ||[[Datei:Kugelkoordinaten.png|miniatur]] In der Abbildung, wird deutlich, dass um den Vektor <math>\vec{\mathbf{r}}</math> darzustellen, lediglich die Variable r in <math>\vec{\mathbf{e}}_r</math> | + | ||[[Datei:Kugelkoordinaten.png|miniatur]] In der Abbildung, wird deutlich, dass um den Vektor <math>\vec{\mathbf{r}}</math> darzustellen, lediglich die Variable r in <math>\vec{\mathbf{e}}_r</math> variiert werden muss. |
− | {Das elektrische Feld hat den folgenden Verlauf | + | {Das elektrische Feld hat, in kartesischen Koordinaten, den folgenden Verlauf: <math>\vec{\mathbf{E}}(x,y)=E_0(\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\vec{\mathbf{e}}_x+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\vec{\mathbf{e}}_y)</math> . |
− | Hinweis: Für geignete Umformungen vgl. [[Formelsammlung Koordinatensysteme]] | + | '''Wie lautet der Verlaufe in Kugelkoordinaten?''' |
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+ | ''Hinweis: Für geignete Umformungen vgl. [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]'' | ||
} | } | ||
-<math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=E_0\vec{\mathbf{e}}_{r} | -<math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=E_0\vec{\mathbf{e}}_{r} | ||
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||Hier soll zunächst die Umformung der Koordinaten vom kartesischen in das Kugelkoordinatensystem erfolgen. vgl: [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]. Daraus ergibt sich: <math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=E_0(\frac{-r\sin\varphi}{r}\vec{\mathbf{e}}_x+\frac{r\cos\varphi}{r}\vec{\mathbf{e}}_y)</math> vergleicht man dan die Umrechnungen der Einheitsvektoren folgt: <math>\vec{\mathbf{e}}_\varphi=\sin\varphi-\vec{\mathbf{e}}_x+\cos\varphi\vec{\mathbf{e}}_y</math> | ||Hier soll zunächst die Umformung der Koordinaten vom kartesischen in das Kugelkoordinatensystem erfolgen. vgl: [[Formelsammlung Koordinatensysteme]]. Daraus ergibt sich: <math>\vec{\mathbf{E}}(r,\varphi,\vartheta)=E_0(\frac{-r\sin\varphi}{r}\vec{\mathbf{e}}_x+\frac{r\cos\varphi}{r}\vec{\mathbf{e}}_y)</math> vergleicht man dan die Umrechnungen der Einheitsvektoren folgt: <math>\vec{\mathbf{e}}_\varphi=\sin\varphi-\vec{\mathbf{e}}_x+\cos\varphi\vec{\mathbf{e}}_y</math> | ||
+ | {'''Fügen Sie folgende Wörter ein und achten Sie dabei auf Groß- und Kleinschreibung:''' | ||
+ | |||
+ | ''Längengrad, Breitengrad, r, phi, theta, Einheitsvektoren, Position'' | ||
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+ | | type="{}" } | ||
+ | Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt P im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\varphi</math> und <math>\vartheta</math> beschrieben. Dabei bezeichnet { r } den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. Der Winkel { phi } wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt, also ausgehend von der positiven x-Achse in Richtung der positiven y-Achse. { theta } gibt den Winkel zwischen der positiven z-Achse und dem vom Ursprung zum betrachteten Punkt zeigenden Ortsvektor an. Die Richtung der { Einheitsvektoren } <math>\vec{\textbf{e}}_r, \vec{\textbf{e}}_\varphi</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\vartheta</math> hängt stets von der { Position } des betrachteten Punktes ab. Alle Punkte mit identischem <math>\varphi</math> liegen auf einem { Längengrad } und Punkte mit identischem <math>\vartheta</math> liegen auf einem { Breitengrad }. | ||
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+ | [[Kategorie:Debug]] | ||
+ | [[Kategorie:Selbsttest]] |
Aktuelle Version vom 24. Oktober 2013, 16:14 Uhr
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Verwenden Sie für diese Aufgabe zur Darstellung der Einheitsvektoren: er, ephi, etheta; zur Darstellung der Kugelkoordinaten r, phi, theta und zur Darstellung der Formelzeichen *, /, +, -.