Allgemeine Formulierung linearer Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

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Im Rahmen der [[Einführung zu linearen Gleichungssystemen]] wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise wie folgt angegeben werden können:
 
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Version vom 28. November 2012, 12:39 Uhr

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Bedeutung der Indizes bei Matrixelementen

Im Rahmen der Einführung zu linearen Gleichungssystemen wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise wie folgt angegeben werden können:

\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}

Dabei werden allgemein die folgenden Bezeichnungen verwendet:

\textbf{A}: Koeffizientenmatrix
\vec{\textbf{x}}: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)
\vec{\textbf{b}}: Konstantenvektor oder „rechte Seite“

Dabei handelt es sich lediglich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus m linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen x_1, x_2, \dots, x_n vor:

\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n}x_n & = & b_2\\ \vdots\quad\quad\quad\vdots\quad&&\quad\vdots&&\vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn}x_n & = & b_m\\ \end{matrix}

In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{bmatrix}

Die Elemente (Einträge) der Matrix \textbf{A} werden also mit a_{ij} bezeichnet, wobei i die Zeile und j die Spalte des betrachteten Elements angibt:

Indizierung von Matrixlementen

To-Do:

  • Bild zur Indizierung oben rechts einfügen
  • Zusammenhang zur Multiplikation von Matrizen
  • Hinweis zur Anzahl der Zeilen und Spalten
  • Übergang zu quadratischen Matrizen
  • Lösung solcher Gleichungssysteme und entsprechende Bedingungen
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