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| | {{Vorlage:Baustelle}} | | {{Vorlage:Baustelle}} |
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| − | To-do:
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| − | * Einleitung etwas plausibler (es gibt doch genügend Beispiele)
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| − | * Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)
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| − | * Restriktionen angeben
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| − | * Bedeutung der Elemente in den Formeln der Cramerschen Regel sind schlecht dargestellt - das geht wesentlich übersichtlicher
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| − | * '''Farbliche Hervorhebungen im Gleichungssystem einfügen'''!
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| | {{Navigation|before=[[Determinante einer quadratischen Matrix]]|overview=[[Lineare Gleichungssysteme:Übersicht|Lineare Gleichungssysteme]]|next=[[Vektorrechnung:Übersicht|Übersicht Vektorrechnung]]}} | | {{Navigation|before=[[Determinante einer quadratischen Matrix]]|overview=[[Lineare Gleichungssysteme:Übersicht|Lineare Gleichungssysteme]]|next=[[Vektorrechnung:Übersicht|Übersicht Vektorrechnung]]}} |
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| − | Das Invertieren einer Matrix ist meist sehr aufwendig. Deswegen kann man die Cramersche Regel nutzen, um bei Gleichungssystemen der Form:
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| − | :<math>\mathbf{A}\cdot\vec{\mathbf{x}}=\vec{\mathbf{b}}</math>
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| − | den Lösungsvektor <math>\vec{\mathbf{x}}</math> zu bestimmen.
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| − | Die '''Cramersche Regel''' oder auch das '''Determinantenverfahren''' genannt, lautet:
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| − | <math>x_i=\frac{\det{(\mathbf{A,b})}_i}{\det{\mathbf{A}}}</math>
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| − | Dabei ersetzt man zunächst die Spalte mit dem Spaltenvektor <math>\vec{\mathbf{b}}</math> in der Matrix, deren Lösung man haben möchte. Soll berechnet werden welcher Wert an der Stelle <math>x_1</math> im Lösungsvektor steht, muss man die erste Spalte der Matrix mit <math>\vec{\mathbf{b}}</math> ersetzen. Dann müssen die Determinaten der so neu gewonnen Matrix und der Matrix <math>\mathbf{A}</math> bestimmt werden.
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| − | Um alle Werte des Lösungsvektors zu bekommen, muss man das Verfahren mehrfach anwenden.
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| − | {{Beispiel
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| − | |Titel= Anwendung der Cramersche Regel
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| − | |Inhalt=
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| − | Durch eine Knotenanalyse ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
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| − | :<math>\begin{pmatrix}
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| − | R_1+R_2+R_4 & -R_1 & -R_4 \\
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| − | -R_1 & R_1+R_3+R_5 & -R_3 \\
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| − | -R_4 & -R_3 & R_3+R_4+R_6
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| − | \end{pmatrix}
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| − | \cdot
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| − | \begin{pmatrix}
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| − | I_2\\
| |
| − | I_5\\
| |
| − | I_6
| |
| − | \end{pmatrix}
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| − | =
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| − | \begin{pmatrix}
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| − | U_{01}-U_{02}\\
| |
| − | -U_{01}-U_{03}\\
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| − | U_{03}
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| − | \end{pmatrix}
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| − | </math>
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| − | Nun soll das erste Element des Lösungsvektors, also <math>i_2</math> bestimmt werden. Dazu muss also der Quellvektor in die erste Spalte der Koeffizientenmatrix gesetzt werden.:
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| − | :<math>I_2=
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| − | \frac{1}{\det(\mathbf{R})}\cdot
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| − | \det{
| |
| − | \begin{pmatrix}
| |
| − | U_{01}-U_{02} & -R_1 & -R_4 \\
| |
| − | -U_{01}-U_{03}& R_1+R_3+R_5 & -R_3 \\
| |
| − | U_{03} & -R_3 & R_3+R_4+R_6
| |
| − | \end{pmatrix}
| |
| − | }
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| − | </math>
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| − | Dies kann nun weiter symbolisch oder mit Werten ausgerechnet werden.
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| − | }}
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| − | <noinclude>==Literatur==
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| − | * Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
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| − | </noinclude>
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