Cramersche Regel: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>x_i=\frac{\det{(\mathbf{A,b})}_i}{\det{\mathbf{A}}}</math> | <math>x_i=\frac{\det{(\mathbf{A,b})}_i}{\det{\mathbf{A}}}</math> | ||
| − | Dabei ersetzt man zunächst die Spalte mit dem Spaltenvektor <math>\vec{\mathbf{b}}</math> in der Matrix, deren Lösung man haben möchte. | + | Dabei ersetzt man zunächst die Spalte mit dem Spaltenvektor <math>\vec{\mathbf{b}}</math> in der Matrix, deren Lösung man haben möchte. Soll berechnet werden welcher Wert an der Stelle <math>x_1</math> im Lösungsvektor steht, muss man die erste Spalte der Matrix mit <math>\vec{\mathbf{b}}</math> ersetzen. Dann müssen die Determinaten der so neu gewonnen Matrix und der Matrix <math>\mathbf{A}</math> bestimmt werden. |
Um alle Werte des Lösungsvektors zu bekommen, muss man das Verfahren mehrfach anwenden. | Um alle Werte des Lösungsvektors zu bekommen, muss man das Verfahren mehrfach anwenden. | ||
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|Titel= Cramersche Regel am Zahlenbeispiel | |Titel= Cramersche Regel am Zahlenbeispiel | ||
|Inhalt= | |Inhalt= | ||
| + | Durch eine Knotenanalyse ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem: | ||
| + | |||
| + | :<math>\begin{pmatrix} | ||
| + | R_1+R_2+R_4 & -R_1 & -R_4 \\ | ||
| + | -R_1 & R_1+R_3+R_5 & -R_3 \\ | ||
| + | -R_4 & -R_3 & R_3+R_4+R_6 | ||
| + | \end{pmatrix} | ||
| + | \cdot | ||
| + | \begin{pmatrix} | ||
| + | I_2\\ | ||
| + | I_5\\ | ||
| + | I_6 | ||
| + | \end{pmatrix} | ||
| + | = | ||
| + | \begin{pmatrix} | ||
| + | U_{01}-U_{02}\\ | ||
| + | -U_{01}-U_{03}\\ | ||
| + | U_{03} | ||
| + | \end{pmatrix} | ||
| + | </math> | ||
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{{Navigation|before=[[Determinante einer quadratischen Matrix]]|overview=[[Lineare Gleichungssysteme]]|next=[[Lineare Gleichungssysteme]]}} | {{Navigation|before=[[Determinante einer quadratischen Matrix]]|overview=[[Lineare Gleichungssysteme]]|next=[[Lineare Gleichungssysteme]]}} | ||
Version vom 6. Juli 2012, 09:05 Uhr
Das Invertieren einer Matrix ist meist sehr aufwendig. Deswegen kann man die Cramersche Regel nutzen, um bei Gleichungssystemen der Form:
den Lösungsvektor 
zu bestimmen.
Die Cramersche Regel oder auch das Determinantenverfahren genannt, lautet:
Dabei ersetzt man zunächst die Spalte mit dem Spaltenvektor 
in der Matrix, deren Lösung man haben möchte. Soll berechnet werden welcher Wert an der Stelle 
im Lösungsvektor steht, muss man die erste Spalte der Matrix mit ersetzen. Dann müssen die Determinaten der so neu gewonnen Matrix und der Matrix 
bestimmt werden.
Um alle Werte des Lösungsvektors zu bekommen, muss man das Verfahren mehrfach anwenden.
 Beispiel: Cramersche Regel am Zahlenbeispiel
Durch eine Knotenanalyse ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem: |
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