Selbsttest:Vektorprodukt: Unterschied zwischen den Versionen
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{'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | {'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math>{ -1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ -2 }<math>\vec{\mathbf{e}}_y+</math>{ | + | <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math>{ -1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ -2 }<math>\vec{\mathbf{e}}_y+</math>{ 3 }<math>\vec{\mathbf{e}}_z</math> |
||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:<math>\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math>oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:<math>\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math>oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||
{'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | {'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math>{ -1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ | + | <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math>{ -1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ 0 }<math>\vec{\mathbf{e}}_y+</math>{ 0 }<math>\vec{\mathbf{e}}_z</math> |
||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:<math>\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math>oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:<math>\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math>oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||
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+ Der Vektor <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> steht senkrecht auf der Fläche, die von den Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math> und <math>\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird. | + Der Vektor <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> steht senkrecht auf der Fläche, die von den Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math> und <math>\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird. | ||
- Der Betrag des vektoriellen Produkts ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird. | - Der Betrag des vektoriellen Produkts ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird. | ||
− | ||Da die Formel des Vektorprodukts nicht nur das vektorielle Produkt sondern auch den | + | ||Da die Formel des Vektorprodukts nicht nur das vektorielle Produkt, sondern auch den Sinus des eingeschlossenen Winkels enthält, ist diese Antwort falsch. Weitere Erklärung siehe [[Rechte Hand Regel 1]] |
+ Die Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math>, <math>\vec{\mathbf{b}}</math> und <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> bilden ein Rechtssystem, das heißt, sie sind angeordnet wie Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger der rechten Hand. | + Die Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math>, <math>\vec{\mathbf{b}}</math> und <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> bilden ein Rechtssystem, das heißt, sie sind angeordnet wie Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger der rechten Hand. | ||