Selbsttest:Vektorprodukt: Unterschied zwischen den Versionen

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- Der Betrag des vektoriellen Produkts ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird.
 
- Der Betrag des vektoriellen Produkts ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird.
 
+ Die Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math>, <math>\vec{\mathbf{b}}</math> und <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> bilden ein Rechtssystem, das heißt, sie sind angeordnet wie Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger der rechten Hand.
 
+ Die Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math>, <math>\vec{\mathbf{b}}</math> und <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> bilden ein Rechtssystem, das heißt, sie sind angeordnet wie Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger der rechten Hand.
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||Erklärung: s.[[Vektorrechnung#Rechte Hand Regel|Rechte Hand Regel]]
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||Erklärung: s. [[Rechte Hand Regel 1]]
  
  

Version vom 16. Februar 2012, 11:30 Uhr

Vektorprodukt

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1. Bitte markieren Sie die korrekten Umformungen:

\vec{\mathbf{b}} \times \vec{\mathbf{a}}=-(\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}})
\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}}\bot\vec{\mathbf{b}}
→\text{Erklärung: Der Betrag des Vektorprodukts ergibt sich aus folgender Formel:}
\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} =\vec{\mathbf{c}}\text{ mit}\left|\vec{\mathbf{c}}\right| = ab\sin\alpha
\text{ Da der Sinus des eingeschlossenen Winkels betrachtet wird und er hier 90° ist, ergibt sich der maximale Betrag also} |ab|.
\vec{\mathbf{y}}\times\vec{\mathbf{x}}=-\vec{\mathbf{z}}
\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= \vec{\mathbf{e}}_cab \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}}\uparrow\downarrow\vec{\mathbf{b}}
→\text{Der Betrag des Vektorprodukts ergibt sich aus folgender Formel}
\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}=\vec{\mathbf{c}}\text{ mit}\left|\vec{\mathbf{c}}\right|= ab\sin\alpha
\text{Hier muss also der Sinus von 180° betrachtet werden und da dieser Null ist, folgt auch für das Ergebnis 0.}
\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ fuer } \vec{\mathbf{a}} \upuparrows\vec{\mathbf{b}}
Das Vektorprodukt ist kommutativ.
→Erklärung: s. Vektorprodukt

2. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}=\vec{\mathbf{e}}_x+\vec{\mathbf{e}}_y+\vec{\mathbf{e}}_z
→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung: \vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: \vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha

3. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=\vec{\mathbf{e}}_x+\vec{\mathbf{e}}_y+\vec{\mathbf{e}}_z
→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: \vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha

4. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\vec{\mathbf{e}}_x+\vec{\mathbf{e}}_y+\vec{\mathbf{e}}_z
→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: \vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha

5. Gegeben sind folgende Vektoren.

Vektorprodukt Bitte markieren Sie alle richtigen Aussagen mit Berücksichtigung der gegebenen Vektoren.

Der Vektor \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} steht senkrecht auf der Fläche, die von den Vektoren \vec{\mathbf{a}} und \vec{\mathbf{b}} aufgespannt wird.
Der Betrag des vektoriellen Produkts ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} aufgespannt wird.
Die Vektoren \vec{\mathbf{a}}, \vec{\mathbf{b}} und \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} bilden ein Rechtssystem, das heißt, sie sind angeordnet wie Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger der rechten Hand.
→Erklärung: s. Rechte Hand Regel 1

6. Gegeben sei folgende Formel:

\vec{\textbf{a}}\times\vec{\textbf{b}} =\vec{\textbf{c}}

Ordnen sie den gegebenen Vektoren, die entsprechenden Finger zu, die bei der Drei-Finger-Regel der rechten Hand verwendet werden.

Daumen Zeigefinger Mittelfinger
\vec{\mathbf{b}}
\vec{\mathbf{a}}
\vec{\mathbf{c}}
→ Erklärung: s. Rechte Hand Regel 1

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