Einfache Rechenoperationen mit Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 2: | Zeile 2: | ||
[[Image:Vektorrechnung_Vektoraddition_und_-subtraktion.jpg|miniatur|Vektoraddition und -subtraktion]] | [[Image:Vektorrechnung_Vektoraddition_und_-subtraktion.jpg|miniatur|Vektoraddition und -subtraktion]] | ||
| − | Vektoren lassen sich sowohl graphisch als auch rechnerisch addieren. Bei der grafischen Addition wird einer der Vektoren parallel verschoben, so dass sein Anfang an der Spitze des zweiten Pfeils liegt (die Vektoren werden also sozusagen aneinandergereiht). Der resultierende Vektor wird als Summenvektor bezeichnet und zeigt vom Anfangspunkt des einen Vektors zur Spitze des parallel verschobenen Vektors (siehe Abbildung). Zur mathematischen Bestimmung | + | Vektoren lassen sich sowohl graphisch als auch rechnerisch addieren. Bei der grafischen Addition wird einer der Vektoren parallel verschoben, so dass sein Anfang an der Spitze des zweiten Pfeils liegt (die Vektoren werden also sozusagen aneinandergereiht). Der resultierende Vektor wird als Summenvektor bezeichnet und zeigt vom Anfangspunkt des einen Vektors zur Spitze des parallel verschobenen Vektors (siehe Abbildung). Zur mathematischen Bestimmung des Summenvektors werden die einzelnen Komponenten addiert: |
:<math> | :<math> | ||
\vec{\textbf{a}} + \vec{\textbf{b}} = | \vec{\textbf{a}} + \vec{\textbf{b}} = | ||
| Zeile 13: | Zeile 13: | ||
\vec{\textbf{a}}+\vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{b}}+\vec{\textbf{a}} | \vec{\textbf{a}}+\vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{b}}+\vec{\textbf{a}} | ||
</math> | </math> | ||
| − | Bei der Subtraktion zweier Vektoren wird der resultierende Vektor als Differenzvektor bezeichnet. Zur graphischen Bestimmung des Differenzvektors <math>\vec{\textbf{a}}-\vec{\textbf{b}}</math> lässt sich ausnutzen, dass <math>\vec{\textbf{a}}-\vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{a}}+(-\vec{\textbf{b}})</math> gilt. Dies bedeutet nämlich, dass die beiden Vektoren einfach addiert werden können, sofern man die Richtung des Vektors <math>\vec{\textbf{b}}</math> umkehrt. | + | Bei der Subtraktion zweier Vektoren wird der resultierende Vektor als Differenzvektor bezeichnet. Zur graphischen Bestimmung des Differenzvektors <math>\vec{\textbf{a}}-\vec{\textbf{b}}</math> lässt sich ausnutzen, dass <math>\vec{\textbf{a}}-\vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{a}}+(-\vec{\textbf{b}})</math> gilt. Dies bedeutet nämlich, dass die beiden Vektoren einfach addiert werden können, sofern man die Richtung des Vektors <math>\vec{\textbf{b}}</math> zuvor umkehrt. Zur mathematischen Bestimmung des Differenzvektors werden die einzelnen Komponenten subtrahiert: |
| + | :<math> | ||
| + | \vec{\textbf{a}} - \vec{\textbf{b}} = | ||
| + | \begin{bmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{bmatrix} - | ||
| + | \begin{bmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{bmatrix} = | ||
| + | \begin{bmatrix} a_x-b_x\\a_y-b_y\\a_z-b_z \end{bmatrix} | ||
| + | </math> | ||
===Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar=== | ===Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar=== | ||
Version vom 1. Februar 2012, 21:41 Uhr
Addition und Subtraktion von Vektoren
Vektoren lassen sich sowohl graphisch als auch rechnerisch addieren. Bei der grafischen Addition wird einer der Vektoren parallel verschoben, so dass sein Anfang an der Spitze des zweiten Pfeils liegt (die Vektoren werden also sozusagen aneinandergereiht). Der resultierende Vektor wird als Summenvektor bezeichnet und zeigt vom Anfangspunkt des einen Vektors zur Spitze des parallel verschobenen Vektors (siehe Abbildung). Zur mathematischen Bestimmung des Summenvektors werden die einzelnen Komponenten addiert:
Sowohl anhand der grafischen Addition — es spielt offensichtlich keine Rolle welcher der beiden Vektoren an die Spitze des anderen verschoben wird — als auch anhand der rechnerischen Bestimmung des Summenvektors wird deutlich, dass die Vektoraddition dem Kommutativgesetz genügt. Folglich gilt:
Bei der Subtraktion zweier Vektoren wird der resultierende Vektor als Differenzvektor bezeichnet. Zur graphischen Bestimmung des Differenzvektors 
lässt sich ausnutzen, dass 
gilt. Dies bedeutet nämlich, dass die beiden Vektoren einfach addiert werden können, sofern man die Richtung des Vektors 
zuvor umkehrt. Zur mathematischen Bestimmung des Differenzvektors werden die einzelnen Komponenten subtrahiert:
