Einheitsvektoren: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 30. Januar 2012, 22:14 Uhr

Einheitsvektor

Unter einem Einheitsvektor versteht man allgemein einen Vektor mit dem Betrag beziehungsweise der Länge 1. Der Einheitsvektor $\vec{\textbf{e}}_{a}$ zu einem gegebenen Vektor $\vec{\textbf{a}}$ lässt sich dadurch bestimmen, dass man den gegebenen Vektor durch seinen Betrag dividiert:

\vec{\textbf{e}}_{a} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{|\vec{\textbf{a}}|} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}} = \frac{1}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}} \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{bmatrix}

Der Vektor $\vec{\textbf{e}}_{a}$ hat die Länge 1 (es gilt also $|\vec{\textbf{e}}_{a}| = 1$ ) und zeigt in Richtung des Vektors $\vec{\textbf{a}}$ . Auf diese Weise lässt sich jeder Vektor als Produkt aus seinem Betrag und dem dazugehörigen Einheitsvektor angeben. Der Vektor $\vec{\textbf{a}}$ kann somit auch wie folgt dargestellt werden:

\vec{\textbf{a}} = \vec{\textbf{e}}_{a} |\vec{\textbf{a}}| = \frac{\vec{\textbf{a}}}{|\vec{\textbf{a}}|} |\vec{\textbf{a}}|

Beispiel: Bestimmung des Einheitsvektors zu einem gegebenen Vektor

Gegeben sei der Vektor $\vec{\textbf{b}} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \end{bmatrix}^\text{T}$ (das $^\text{T}$ steht für Transposition), zu dem der zugehörige Einheitsvektor bestimmt werden soll. In diesem Fall folgt:

\vec{\textbf{e}}_{b} = \frac{\vec{\textbf{b}}}{|\vec{\textbf{b}}|} = \frac{1}{3^2 + 0^2 + 4^2} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{25}} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{25}\\ 0\\ \frac{4}{25} \end{bmatrix}

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 \vec{\textbf{e}}_{b} = \frac{\vec{\textbf{b}}}{|\vec{\textbf{b}}|} =
-\frac{1}{3^2 + 0^2 + 4^2} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \end{bmatrix} =
+\frac{1}{3^2 + 0^2 + 4^2} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} =
-\frac{1}{\sqrt{25}} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \end{bmatrix} =
+\frac{1}{\sqrt{25}} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} =
-\begin{bmatrix} \frac{3}{25} & 0 & \frac{4}{25} \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix} \frac{3}{25}\\ 0\\ \frac{4}{25} \end{bmatrix}
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