Zylinderkoordinaten

Beim Übergang von kartesischen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten bleibt die z-Koordinate unverändert, während die Position eines Punktes $\mathrm{P}(\mathrm{x},\mathrm{y})$ in einer Ebene z = const. jetzt durch die beiden in Abbildung 1 eingetragenen Koordinaten $\rho$ und $\varphi$ beschrieben wird. Die Koordinate $\rho$ kennzeichnet den Abstand des Punktes von der z-Achse, der Winkel $\varphi$ wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt. Der positiven x-Achse ist der Wert $\varphi = 0$ zugeordnet, der negativen x-Achse der Wert $\varphi = \pi$. Die Definitionsgleichungen für die Koordinaten des Kreiszylinders $\left( \mathrm{u}_1 = \rho, \mathrm{u}_2 = \varphi, \mathrm{u}_3 = \mathrm{z} \right)$ können unmittelbar der unteren Abbildung entnommen werden:

$\begin{align} \mathrm{x} &= \rho \cos \varphi& && 0 &\leq \rho < \infty\\ \mathrm{y} &= \rho \sin \varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \varphi < 2 \pi\\ \mathrm{z} &= \mathrm{z}& && & \end{align}$

Formel (1)

Abbildung 1: Zylinderkoordinaten

Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen Formel (1) in die berechnet werden:

$\begin{align} h_1 &= h_\rho = 1\\ h_2 &= h_\varphi = \rho\\ h_3 &= h_\mathrm{z} = 1 \end{align}$

Formel (2)

Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit :

$\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \mathrm{d}\rho + \vec{\textbf{e}}_\varphi \rho \mathrm{d}\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{d}\mathrm{z}$

Für das Volumenelement folgt mit :

$\mathrm{d}V = \rho\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\mathrm{z}$

Mit dem Ortsvektor ()

$\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \rho \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \rho \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}$

Formel (3)

und den metrischen Faktoren (Formel (2)) werden aus die Einheitsvektoren bestimmt:

$\begin{align} \vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_\rho = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \rho} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\rho \partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \end{align}$

Formel (4)

Ein Vergleich der Beziehungen Formel (3) und Formel (4) zeigt, dass der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten die nachstehende Form annimmt:

$\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \rho + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}$

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringCylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://demonstrations.wolfram.com/CylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://www.pha.jhu.edu/~javalab/cylindrical/cylindrical.html Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

http://scientificsentence.net/Electromagnetics/index.php?key=yes&Integer=Cylindrical Bild und Erläuterung zu den Einheitsvektoren im Zylinderkoordinatensystem (engl.) http://www.math.wpi.edu/Course_Materials/MA2251C99/images/cylndrcl.gif Bild zu infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinatensystem http://lh5.ggpht.com/_XvrTyMj5b-k/SaH0PTc-qWI/AAAAAAAAFnM/YYo0W-gT_5I/controlvolumecylindricalcontinuity5.png Bild zu einem infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinaten