Selbsttest:Das Flächenintegral: Unterschied zwischen den Versionen

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{Wenn <math>\int_A\vec{\mathbf{B}}\cdot\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}=B\cdot A</math> gilt, muss folgendes erfüllt sein.}
 
{Wenn <math>\int_A\vec{\mathbf{B}}\cdot\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}=B\cdot A</math> gilt, muss folgendes erfüllt sein.}

Version vom 12. Oktober 2012, 18:48 Uhr

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1. Wenn \int_A\vec{\mathbf{B}}\cdot\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}=B\cdot A gilt, muss folgendes erfüllt sein.

B ist über A konstant.
\vec{\mathbf{B}} und \mathrm{d}\vec{\mathbf{A}} zeigen in die entgegengesetzte Richtung
\vec{\mathbf{B}} und \mathrm{d}\vec{\mathbf{A}} zeigen in die selbe Richtung
der eingeschlossene Winkel \alpha zwischen \mathrm{d}\vec{\mathbf{A}} und \vec{\mathbf{B}} ist 0.
der eingeschlossene Winkel \alpha zwischen \mathrm{d}\vec{\mathbf{A}} und \vec{\mathbf{B}} ist \frac{\pi}{2}.

2. Im Folgenden soll die magnetische Flussdichte bestimmt werden. Dazu soll das Flächenintegral \oint \vec{\mathbf{B}}\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}} mit der magnetischen Flussdichte \vec{\mathbf{B}}=B_0\cdot\vec{\mathbf{e}}_y über dem Quader entsprechend der Abbildung berechnet werden. Füllen Sie die Lücken sinnvoll!

Zunächst muss das Flächenintegral in 6 Teilflächenintegrale unterteilt werden. Fügen sie die Einheitsvektoren der Flächennormalen ex, ey, ez, -ex, -ey, -ez entsprechend der Abbildung in die Gleichung ein:
\oint\vec{\mathbf{B}}\cdot\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}=
\int_{A_1} B_0\vec{\mathbf{e}}_y\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}_1
+\int_{A_2} B_0\vec{\mathbf{e}}_y\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}_2
+\int_{A_3} B_0\vec{\mathbf{e}}_y\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}_3
+\int_{A_4} B_0\vec{\mathbf{e}}_y\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}_4
+\int_{A_5} B_0\vec{\mathbf{e}}_y\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}_5
+\int_{A_6} B_0\vec{\mathbf{e}}_y\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}_6
Bildet man das Skalarprodukt der Flächennormalen mit der Flussrichtung der magnetischen Flussdichte folgt, dass die Flächenintegrale an den Flächen , , , 0 sein müssen, da der Winkel zwischen der Flächennormalen und der Flussrichtung \frac{\pi}{2} beträgt.
(Bitte die Flächen in der richtigen Reihenfolge eintragen und dabei die folgende Schreibweise beachten: A1, A2, A3,...)'
Da die übrigen Flächen entgegengesetzt gerichtet sind folgt:
(Bitte das Vorzeichen eintragen)
\int_0^a \int_0^a B_0\mathrm{d}x\mathrm{d}z\int_0^a \int_0^a B_0\mathrm{d}x\mathrm{d}z=0
Dieses Ergebnis stimmt mit der Maxwellschen Gleichung überein, die die Quellenfreiheit des Magnetischen Feldes beschreibt. \oint\vec{\mathbf{B}}\cdot\mathrm{d}\vec{\mathbf{A}}=0

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